第十六章 多元函数的极限与连续习题课一 概念叙述题1.叙述0lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ．lim ()0,0,P P f P A εδ→=⇔∀>∃>当00(;)P U P D ∈δ时，有()f P A ε-<（方形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<（圆形邻域）0,0,εδ⇔∀>∃>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=-∞，00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →=∞的定义．000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有0,0,0(,)G f x y Gδδ⇔∀>∃><<>当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞⇔∀>∃>-<-<≠<-当时，有000000(,)(,)lim(,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞⇔∀>∃>-<-<≠>当时，有．3.叙述0(,)(,)lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=⇔∀>∃>∃>>-<-<当时，有4.叙述0(,)(,)lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义．00(,)(,)lim(,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞⇔∀>∃>∃>-<<->当时，有5. 叙述(,)(,)lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义．(,)(,)lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞⇔∀>∃><-><-当时，有．注：类似写出(,)(,)lim (,)x y f x y →=的定义，其中取,,,A ∞+∞-∞，∆取0,,,x ∞+∞-∞，取0,,,y ∞+∞-∞．6.叙述f 在点0P 连续的定义．f 在点0P 连续⇔ε∀， 0δ∃>，只要0(;)P U P D δ∈，就有0()()f P f P ε-<⇔ε∀， 0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<⇔ε∀，0δ∃>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<．7.叙述f 在D 上一致连续的定义．f 在D 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<8.叙述f 在D 上不一致连续的定义．f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥二 疑难问题与注意事项1. 00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<表示空心邻域吗？答：不是．0000{(,)|,,(,)(,)}x y x x y y x y x y δδ-<-<≠只是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉一点00(,)x y ，而00{(,)|0,0}x y x x y y δδ<-<<-<是00{(,)|,}x y x x y y δδ-<-<去掉了两条线段，000{(,)|,}x y x x y y y δδ=-<<+，000{(,)|,}x y y y x x x δδ=-<<+．2. E 的界点是E 的聚点吗？答：不一定，E 的界点还可能是E 的孤立点．3. E 的聚点一定属于E 吗？答：不一定，例如，22{(,)|14}D x y x y =≤+<，满足224x y +=的一切点也是D 的聚点，但它们都不属于D ．注 E 的内点，孤立点一定属于E ，E 的聚点，界点可能属于E ，也可能不属于E ，E 的外点一定不属于E ．4.区域上每一点都是聚点吗？答 区域上每一点都是聚点，因为区域是连通的开集，既然连通，就能保证，区域上每一点的邻域有无穷多个点．5. 12x x -1212x x y y -+-之间有什么关系？答：()12121212x x y y x x y y --≤≤-+-或． 6.用方形邻域证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=的思路是什么？答：证明00(,)(,)lim (,).x y x y f x y A →=怎么证呢？------关键也是找δ.（用方形邻域的思路0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.）当00(,)(,)x y x y →，有00(,)(,)x y x y ≠，把(,)f x y A -化简为下述形式:()()00(,),,f x y A x y x x x y y y ϕψ-=-+-（注意一定要出现0x x -，0y y -）.然后将()(),,,x y x y ϕψ适当放大，有时先要限定01x x δ-<，01y y δ-<,估算得()(),,,x y M x y N ϕψ≤≤,则（最综化简到00(,)f x y A M x x N y y -≤-+-这个形式）；0>∀ε，要使(,)f x y A -<ε，只要()00M x x N y y M N -+-<+δ<ε，即要M N εδ<+，取1min(,)M Nεδ=δ+，于是0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.7. 证明判断二元函数(),f x y 在(,)(0,0)x y →时二重极限不存在？ 答：1）当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0)lim (,)x y y mxf x y →=值与m有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．2）令cos x r θ=，sin y r θ=，0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ有关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在．注意 若0lim (cos ,sin )r f r r θθ→与θ无关，则二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在．3）找自变量的两种变化趋势，使两种方式下极限不同． 4）证明两个累次极限存在但不相等．8. 当动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)时，若(,)(0,0) lim (,)x y y mxf x y →=值与m 无关，能说明二重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →存在吗？答：不能，因为所谓二元函数存在极限，是指(,)x y 以任何方式趋于(0,0)时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数，动点(,)x y 沿着直线y mx =而趋于定点(0,0)这只是一种方式，还有其它方式．9.计算二元函数极限有哪些方法？1) 利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小；例 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin1x y≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y→+=+． 2）利用变量替换化为已知极限或化为一元函数的极限；例 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22ux y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y ux y u→→+==+． 3）利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，如果(cos ,sin )f r r θθ沿径向路径关于[]0,2θπ∈一致成立，则(,)(0,0)lim (,)lim (cos ,sin )x y r f x y f r r θθ→→=；例 求222(,)(0,0)lim x y x yx y →+．解 利用极坐标变换．令cos x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,0)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 4）利用不等式，使用夹逼准则．例 2244(,)(,)limx y x y x y →+∞+∞++解 因为2222442222110222x y x y x y x y y x ++≤≤≤++，而22(,)(,)11lim 022x y y x →+∞+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 因此2244(,)(,)lim 0x y x y x y →+∞+∞+=+．5）初等变形求极限，如1∞极限，凑()1e +→1，0→．例2(,)(,0)1lim1x x yx y x +→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解 2(,)(,0)lim(,)(,0)(,)(,0)11lim 1lim 1x y x x xxx yx yx yx y x y ee x x →+∞+++→+∞→+∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=+==⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭．10．重极限与累次极限有什么关系？ 答：（1）重极限与累次极限没有必然的蕴含关系（除了若两个累次极限存在但不相等能推重极限存在）；（2）若两个重极限与累次极限都存在时，则三者相等； （3）若重极限和其中一个累次极限存在时则这两者相等，另一个累次极限可能存在可能不存在．（4）两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．11.二元函数(),f x y 在()00,x y 连续，与一元函数()0,f x y 在0x 连续，一元函数()0,f x y 在0y 连续有什么关系？ 答反例 二元函数1, 0,(,)0, 0xy f x y xy ≠⎧=⎨=⎩在原点处显然不连续．但由(0,)(,0)0,f y f x ==因此在原点处f 对x 和对y 分别都连续． 三 典型例题1．求下列平面点集的内点、边界点、聚点、孤立点形成的集合．（1）()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+<⎨⎬⎩⎭；（2）()[]{},,0,1E x y x y =都是中的有理数； （3）(){},,E x y x y =都是整数；（4）()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭． 解：（1）E 的内点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=<+<⎨⎬⎩⎭，边界点集合是()2222,1444y y E x y x x ⎧⎫=+=+=⎨⎬⎩⎭或，聚点集合是()22,144y E x y x ⎧⎫=≤+≤⎨⎬⎩⎭．没有孤立点．（2）E 没有内点，（因为E 中任意一点的邻域既含有有理数，也含有无理数）； 边界点集合是[][]0,10,1⨯．聚点集合是[][]0,10,1⨯，没有孤立点．（3）E 没有内点，（因为E 中任意一点的空心邻域当距离很小时，不含整数点） 边界点集合是E ，没有聚点，孤立点集合是E ．（4）E 没有内点，聚点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(){},0,11x y x y =-≤≤，没有孤立点，界点是()1,sinE x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(){},0,11x y x y =-≤≤．2． 证明0000(,)(,)(),()n n n n x y x y n x x y y n →→∞⇔→→→∞．证：（⇒）由于00(,)(,)()n n x y x y n →→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时ε<，因此有0||n x x ε-<，0||n y y ε-<，即00,()n n x x y y n →→→∞．（⇐）由于00,()n n x x y y n →→→∞，即对0ε∀>，N Z +∃∈，当n N >时有0||2n x x ε-<，0||2n y y ε-<，从而有00n n x x y y ε≤-+-<，即 00(,)(,)()n n x y x y n →→∞．3．（1）举出两个累次极限存在，但不相等的例子． （2）举出两个累次极限存在，且相等的例子． （3）举出两个累次极限一个存在一个不存在的例子． （4）举出两个累次极限都不存在的例子． 解：（1）例如(,)x yf x y x y-=+在(0,0)点的两个累次极限存在，但不相等． 000lim limlim11x y x x y x y →→→-==+，()000lim lim lim 11y x y x yx y →→→-=-=-+． （2）例如22(,)xyf x y x y =+在(0,0)点的两个累次极限存在，且相等．2200limlimlim00x y x xy x y →→→==+，2200lim lim 0y x xyx y →→=+． （3）例如1(,)sinf x y x y=在(0,0)点只有一个累次极限存在． 001limlim sin x y x y →→⎛⎫ ⎪⎝⎭不存在，001limlim sin 0y x x y →→⎛⎫= ⎪⎝⎭． （4）例如11(,)sinsin f x y x y y x=+在(0,0)点两个累次极限都不存在． 注 两个累次极限可能都存在，可能都不存在，可能一个存在一个不存在，都存在时可能相等，也可能不相等．4．试作函数(),f x y ，使当0x →，0y →时(1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在．解（1）22(,)xyf x y x y=+，两个累次极限存在（见上题），但 ()()2222222,0,00 lim lim 1x y x y kxxy kx kx y x k x k →→===+++， 因为与k 有关系，因此重极限不存在． （2）11(,)sinsin f x y x y y x=+，在(0,0)点两个累次极限都不存在，但重极限存在 ()(),0,011lim sin sin =0x y x y y x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （3）2211(,)f x y x y=+，在(0,0)点的两个累次极限，重极限都不存在． （4）1(,)sinf x y x y =或1(,)sin f x y y x=． 变形：当x →∞，y →∞时，有10x→，10y →，（1）222211(,)11xyx y f x y x y x y ==++；（2）11(,)sin sin f x y y x x y=+； （3）22(,)f x y x y =+； （4）1(,)sin f x y y x=． 5. 讨论二元函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0),x x y f x y x y x y α⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在(0,0)点的连续性．解 令cos x r θ=，sin y r θ=，222(,)(0,0)0cos lim lim x y r x r x y r αααθ→→=+当2α>，根据无穷小量乘有界量为无穷小量知()22(,)(0,0)lim00,0x y x f x y α→==+，因此(,)f x y 在(0,0)点连续；当2α=，由极限值与θ有关，二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续；当2α<，由20cos lim r r rααθ→不存在，则二重极限不存在，因此(,)f x y 在(0,0)点不连续．6．设(,)f x y 定义在闭矩形域[,][,].S a b c d =⨯若f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续.证明f 在S 上处处连续.分析：要证f 在S 上处处连续，只要证()00,x y S ∀∈，f 在()00,x y 连续，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<，因为条件中有一元函数连续，因此要出现偏增量，即证ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε-+-<（因为条件是f 对y 在[,]c d 上处处连续,对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，因此插入0(,)f x y .证明：因为f 对y 在[,]c d 上处处连续，则()0,f x y 在0y 连续，于是ε∀，0δ∃>， 当0y y δ-<，就有000(,)(,)2f x y f x y ε-<.因为对x 在[,]a b (且关于y )为一致连续，则有ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<（对任意y 就有0(,)(,)2f x y f x y ε-<.因此ε∀，0δ∃>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ε-+-<-+-<.7. 设00lim ()()y y y y A ϕϕ→==，00lim ()()0x x x x ψψ→==，且在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，证明()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.分析：要证()()00,,lim(,)x y x y f x y A →=，只要证0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<，00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-<.而(),f x y 与()y ϕ有关系，因此就要插入()y ϕ，即证(,)()()f x y y y A ϕϕε-+-<.证 由00lim ()()y y y y A ϕϕ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0y y δ-<，有()2y A εϕ-<.由00lim ()()0x x x x ψψ→==得，0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，有()2x εψ<.因为在00(,)x y 附近有(),()()f x y y x ϕψ-≤，于是当0x x δ-<，0y y δ-<有(),()2f x y y εϕ-<.因此0,0,εδ∀>∃>当0x x δ-<，0y y δ-<有(,)()()(,)()()f x y y y A f x y y y A ϕϕϕϕε-+-≤-+-<，因此()()00,,lim (,)x y x y f x y A →=.8. f 在E 上一致连续的充要条件是：对E 中的每一对点列{}{},k k P Q 如果()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，便有()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 证 必要性 f 在E 上一致连续()0,,,P Q D εδε⇔∀>∃∀∈只要(,)P Q ρδ<，就有()().f P f Q ε-<()lim ,0k k k P Q ρ→∞=⇒对上述δ，(),,,k k N k N P Q ρδ∃∀><有，因此()().k k f P f Q ε-< 即()()lim 0k k k f P f Q →∞-=⎡⎤⎣⎦. 充分性 反证法，设f 在D 上不一致连续00,,,P Q D δδεδ⇔∃>∀∃∈尽管(,)P Q δδρδ<，但有0()().f P f Q δδε-≥则取1,1,2,,k kδ==总有相应的k k P Q D ∈、，虽然1(,)k k P Q kρ<，但是 0()().k k f P f Q ε-≥即()lim ,0k k k P Q ρ→∞=，()()lim 0k k k f P f Q →∞-≠⎡⎤⎣⎦，矛盾.因此f 在E 上一致连续.。