阿波隆尼定理(Apollonius): 椭圆内两共轭半径的平方和等于其长短半径的平方和； 两个共轭半径与它们的交角正弦的乘积等于其长短半径的乘 积。
L K
据阿波隆尼定理，有：
b
m2 + n2 = a 2 + b2 mn sin θ = ab
由（1）±（2）×2 得：
K
（１） （２）
θ a
O
n
m
a + b = m 2 + n 2 + 2mn sin θ a − b = m 2 + n 2 − 2mn sin θ
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y′ x′ = n 为纬线长度比 = m 为经线长度比； 设 y x y′ x′ 把 x= y= n m
代入微分圆方程： x + y = r
2 2 2
x′ 2 y ′2 并令 r=1,整理得： 2 + 2 = 1 m n
此式是以椭圆中心为原点，以相交 成θ角的经、纬线(共轭直径）为坐标轴 的椭圆方程式。 由此可以证明：地球面上一微分圆 ，投影到平面上一般成为微分椭圆（特 殊情况下仍为圆）。
如 1:10 000 如 百万分之一
§3.2 变形椭圆
变形椭圆（底索指线）：地球面上一个微分圆（小到可 忽略地球曲面的影响，把它当作平面看待），投影到平面上 后，一般成为微分椭圆，特殊情况下为一个圆。通过对这个 微分椭圆的研究，可以分析地图投影的变形状况。
地球面上一微分圆的任意两相互垂直的直径，投影到平面 上一般成为微分椭圆的两共轭直径。
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地图投影的实质：是将 地球椭球面上的经纬线网按 照一定的数学法则转移到平 面上。 如何转换?
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二、投影变形
由于地球椭球面 是不可展的曲面，要 把它完整地表示到平 面上，必须有条件地 进行局部拉伸和局部 缩小，所以必然会产 生变形。投影变形表 现在以下三个方面： （1）长度变形 （2）面积变形 （3）角度变形
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二、按投影方式分类
（一）几何投影: 将椭球面上的经纬线用几何的方法投影到 几何投影 辅助面上，然后再展开成平面。 1.按辅助投影面的类型划分 方位投影: 以平面作为投影面的投影。 圆柱投影: 以圆柱面作为投影面的投影。 圆锥投影: 以圆锥面作为投影面的投影。
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ω
根据 sin
2
ω
2
+ cos
2
ω
2
2
=1
b 得： tan(90 − β ) = tan β a b cot β = tan β a
a tan β = ± b
把上式代入（1）式： （2）
2 ab ⎛ a −b ⎞ cos = 1 − ⎜ ⎟ = 2 a+b ⎝ a+b⎠
x′2 y ′2 则椭圆方程式为： 2 + 2 = 1 a b
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为了求证经纬线长度比（m、n）与极值长度比（a、b）的 关系，也就是证明阿波隆尼定理，下面我们从任一方向的长度 比开始推证：
OM′ r ′ = 设 μ= OM r 2 2 2 由右图得：r ′ = x′ + y′ 其中： x′ = ax y′ = by y = r sin β 而： x = r cos β
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三、主比例尺和局部比例尺
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投 影长度之比。 可表达为（d 为图上距离，D 为实地距离）
d 1 = D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为： 主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
ω
2 = a −b tan = 2 cos ω 2 ab 2
把 β + β ' = 90 代入（1）式：
ω
sinΒιβλιοθήκη ωb⎛ a ⎞ tan β ' = ⎜ ± ⎜ b⎟ ⎟ a⎝ ⎠
b tan β ' = ± a
（3）
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b tan β ' = tan β a
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由于斜角坐标系中的微分椭
1 圆与直角坐标系中的微分椭圆是 S ΔO′M ′D′ = abxy 2 同一个微分椭圆，所以 P = P2 1 1 mn sin θ = ab abxy S ΔO′M ′D′ 2 P2 = = = ab 从而证明了阿波隆尼定理中 1 S ΔOMD xy 的第二条。 2
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（1）
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根据： β + β ' = 90
2 ω 两式相加得： β = 45 + 4
两式相减得： β ′ = 45 −
β −β '=
ω
ω
4
把 β 和 β′ 分别代入（2）和（3）式得：
a tan(45 + ) = ± 4 b b tan(45 − ) = ± 4 a
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对于： μ （1）当
2
= a cos β + b sin β
2 2 2 2
β = 0 ，则 μ = a ，代表极大长度比。 （2）当 β = 90 ，则 μ = b ，代表极小长度比。
从而证明了：极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。
β = β 0 ，则 μ = m m 2 = a 2 cos 2 β 0 + b 2 sin 2 β 0 （2）则纬线的方向角为 β 0 + 90 ，即 β = β 0 + 90 ，则 μ = n
y' =b y
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y′ by b = tan β tan β ' = = x′ ax a
将上式两边各减和各加 tanβ 即：
b b tan β − tan β ' = tan β − tan β = (1 − ) tan β a a b b tan β + tan β ' = tan β + tan β = (1 + ) tan β a a
dF ' πab P= = 2 = a ⋅b dF π1
P = a·b = m · n P = m · n · sinθ
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
Vp = p − 1
(θ = 90) (θ ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
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2.按辅助投影面和地球（椭球）体的位置关系划分 正轴投影:辅助投影平面与地轴垂直，或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴重合的投影。 横轴投影:辅助投影平面与地轴平行，或者圆锥、圆柱 面的轴与地轴垂直的投影。 斜轴投影:辅助投影平面的中心法线或圆锥、圆柱面的 轴与地轴斜交的投影。 3.按辅助投影面与地球（椭球）面的相切或相割关系划分 切投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相切。 割投影:辅助投影面与地球（椭球）面的相割。
ω
（4）
ω
（5）
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3.4 地图投影的分类
一、按投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面 等角投影 上相应两线段夹角相等，即角度变形为零ω=0（或 a=b， m=n）。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等，即 等积投影 面积变形为零Vp=0（或 P=1，ab=1）。 任意投影: 投影图上，长度、面积和角度都有变形，它 任意投影 既不等角又不等积。其中，等距投影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影（a=1或b=1）。
ds ' μ= ds
Vμ = μ − 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
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二、面积比公式
面积比和面积变形：投影平面上微小面积（变形椭圆面 面积比 面积变形 积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形
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地图比例尺的表示 1.数字式比例尺 2.文字式比例尺 3.图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 4.特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺
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椭圆内任一条直径 d 的平行弦中点在椭圆内的轨迹形成 另一直径 d ′，则d ′称为 d 的共轭直径。
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§3.3 投影变形的基本公式
一、长度比公式
长度比和长度变形：投影面上一微小线段（变形椭圆半 长度比 长度变形 径）和球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定 的比例缩小）之比。 μ 表示长度比，Vμ 表示长度变形。