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第3章 地图投影的基本理论

于是:
x′ = ar cos β
y′ = br sin β
r ′2 = r 2 (a 2 cos 2 β + b 2 sin 2 β ) 代入上式: ′2 r 2 μ = 2 = a 2 cos 2 β + b 2 sin 2 β 最后得: r
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对于: μ (1)当
2
= a cos β + b sin β
2 2 2 2
β = 0 ,则 μ = a ,代表极大长度比。 β = 90o,则 μ = b ,代表极小长度比。 (2)当
o
从而证明了:极大、极小长度比的方向是互相垂直的二方向。
β = β 0 ,则 μ = m m 2 = a 2 cos 2 β 0 + b 2 sin 2 β 0 o o (2)则纬线的方向角为 β 0 + 90 ,即 β = β 0 + 90 ,则 μ = n
dF ' πab P= = 2 = a ⋅b dF π1
P = a·b = m · n P = m · n · sinθ
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
Vp = p − 1
(θ = 90) (θ ≠ 90)
面积比是变量,随位置的不同而变化。
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(1)
第三章 地图投影的基本理论
o 根据: β + β ' = 90
2 ω o 两式相加得: β = 45 + 4
两式相减得: β ′ = 45 −
o
β −β '=
ω
ω
4
把 β 和 β′ 分别代入(2)和(3)式得:
a tan(45 + ) = ± 4 b
o
ω
(4)
b tan(45 − ) = ± 4 a
1 所以 S ΔO′M ′D′ = mnxy sin θ 2 1 mnxy sin θ S ΔO′M ′D′ 2 = = mn sin θ P= 1 1 S ΔOMD xy 2
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ΔOMD 和 ΔO′M ′D′ 中
1 S ΔOMD = xy 2 1 S ΔO′M ′D′ = x′y′ 2 y′ = by 又 x′ = ax
a −b sin( β − β ') = a+b ω 以ω 表示角度最大变形: β − β ' = 2 a −b sin = 2 a+b
若已知 m, n, θ ,则:
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ω
ta n ( 4 5 +
o
ω
2
)=
b a
m 2 + n 2 − 2mn sin θ sin = 2 m 2 + n 2 + 2mn sin θ
o
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ω
(5)
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3.4 地图投影的分类
一、按投影的变形性质分类
等角投影: 投影面上某点的任意两方向线夹角与椭球面 等角投影 上相应两线段夹角相等,即角度变形为零ω=0(或 a=b, m=n)。 等积投影: 投影面与椭球面上相应区域的面积相等,即 等积投影 面积变形为零Vp=0(或 P=1,ab=1)。 任意投影: 投影图上,长度、面积和角度都有变形,它 任意投影 既不等角又不等积。其中,等距投影是在特定方向上没有长 度变形的任意投影(a=1或b=1)。
三、角度变形公式
角度变形: 投影面上任意两方向线所夹之角与球面上相 角度变形 应的两方向线夹角之差,称为角度变形,用|β-β′|表示。 以ω表示角度最大变形。 设M点的坐标为(x、y),M′点的坐标为(x′、y′), 则:
y tan β = x
y' tan β ' = x'
x' =a x
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三、主比例尺和局部比例尺
地图比例尺:地图上一直线段长度与地面相应直线水平投 影长度之比。 可表达为(d 为图上距离,D 为实地距离)
d 1 = D M
根据地图投影变形情况,地图比例尺分为: 主比例尺 : 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺: 在投影面上有变形处的比例尺。
此式是以椭圆中心为原点,以相交 成θ角的经、纬线(共轭直径)为坐标轴 的椭圆方程式。 由此可以证明:地球面上一微分圆 ,投影到平面上一般成为微分椭圆(特 殊情况下仍为圆)。
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由于斜坐标系应用上不太方便,我们 引入主方向的概念:在地球面上某点的两 相互垂直的微分线段,投影到平面上仍保 持垂直且具有极大、极小长度比的二方向 ,称为主方向。 我们取主方向作为微分 椭圆的坐标轴,建立直角坐 标系。主方向的长度比即是 极值长度比,用变形椭圆的 长、短半径 a 和 b 表示。
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地图比例尺的表示 1.数字式比例尺 2.文字式比例尺 3.图解式比例尺 直线比例尺 斜分比例尺 复式比例尺 4.特殊比例尺 变比例尺 无级别比例尺
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地图投影的实质:是将 地球椭球面上的经纬线网按 照一定的数学法则转移到平 面上。 如何转换?
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二、投影变形
由于地球椭球面 是不可展的曲面,要 把它完整地表示到平 面上,必须有条件地 进行局部拉伸和局部 缩小,所以必然会产 生变形。投影变形表 现在以下三个方面: (1)长度变形 (2)面积变形 (3)角度变形
ds ' μ= ds
Vμ = μ − 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量,随位置和方向的变化而变化。
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二、面积比公式
面积比和面积变形:投影平面上微小面积(变形椭圆面 面积比 面积变形 积)dF′与球面上相应的微小面积(微小圆面积)dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形
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二、按投影方式分类
(一)几何投影: 将椭球面上的经纬线用几何的方法投影到 几何投影 辅助面上,然后再展开成平面。 1.按辅助投影面的类型划分 方位投影: 以平面作为投影面的投影。 圆柱投影: 以圆柱面作为投影面的投影。 圆锥投影: 以圆锥面作为投影面的投影。
地球椭球体表面是不可展曲面,要将曲面上的客观事物表 示在有限的平面图纸上,必须经过由曲面到平面的转换。 地图投影:在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数 关系的数学方法,称为地图投影。
x = f1(ϕ , λ ) y = f2(ϕ , λ )
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y' =b y
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y′ by b = tan β tan β ' = = x′ ax a
将上式两边各减和各加 tanβ即:
b b tan β − tan β ' = tan β − tan β = (1 − ) tan β a a b b tan β + tan β ' = tan β + tan β = (1 + ) tan β a a
2 = a −b tan = 2 cos ω 2 ab 2
把 β + β ' = 90o 代入(1)式:
ω
sin
ω
b⎛ a ⎞ tan β ' = ⎜ ± ⎜ b⎟ ⎟ a⎝ ⎠
b tan β ' = ± a
(3)
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b tan β ' = tan β a
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电 子 课 件
第 三 章 地图投影的基本理论
第 三 章 地图投影的基本理论
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 地图投影的基本概念 变形椭圆 投影变形的基本公式 地图投影的分类
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§3.1 地图投影的基本概念
一、地图投影的实质
(1)如果经线的方向角为 β 0 ,即
n 2 = a 2 sin 2 β 0 + b 2 cos 2 β 0 m2 + n2 = a 2 + b2 两式相加得:
从而证明了阿波隆尼定理中的第一条。
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ΔOMD 和 ΔO′M ′D′ 中 1 S ΔOMD = xy 2 1 S ΔO′M ′D′ = x′y′ sin(180o − θ ) 2 又 x′ = mx y′ = ny
如 1:10 000 如 百万分之一
§3.2 变形椭圆
变形椭圆(底索指线):地球面上一个微分圆(小到可 忽略地球曲面的影响,把它当作平面看待),投影到平面上 后,一般成为微分椭圆,特殊情况下为一个圆。通过对这个 微分椭圆的研究,可以分析地图投影的变形状况。
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