机械优化设计案例11. 题目对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。
2.已知条件已知数输入功p=58kw ，输入转速n 1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F =400Mpa 。
3.建立优化模型3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。
由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。
单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：]3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.0222122212221222212212122221222120222222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u mz b bd m u mz b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-----+-=πππππππ式中符号意义由结构图给出，其计算公式为b c d m umz d d d mumz D mz d mz d z z g g 2.0)6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为Tz z T d d lm z bx x x x x x x ][][211654321==3.2目标函数为min)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(2625262425246316321251261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f3.3约束条件的建立1）为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得017)(21≤-=x x g2 )齿宽应满足maxmin ϕϕ≤≤d b，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值和最小值，一般取min ϕ=0.9，max ϕ=1.4，得04.1)()(0)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g3）动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得2)(34≤-=x x g4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于m ax1d ，得300)(325≤-=x x x g5）齿轮轴直径的范围：maxmin z z z d d d ≤≤得0200)(0130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g6）轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得405.0)(46110≤--+=x x x x g7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g8）齿轮轴的最大挠度m ax δ不大于许用值][δ，得003.0)(04.117)(445324414≤-=x x x x x x g9）齿轮轴的弯曲应力w δ不大于许用值w ][δ，得5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g4.优化方法的选择由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。
5.数学模型的求解5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(min 26252642546316321251261231232123221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++-+-+-+=Subject to:130)(0150)(0100)(0300)(02)(04.1)()(0)9.0)(017)(685756325343213321221≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x x g x x g x x x x g x x x x g x x g003.0)(04.117)(0400)10394.010177.02824.0(7098)(0400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(0405.0)(0200)(4453244142242223211322422232112132114611069≤-=≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=≤--+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x x x g x x x x g x x x x g x x g5.5106)1085.2(1)(05.5104.2)1085.2(1)(1223246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g5.1.2运用Matlab 优化工具箱对数学模型进行程序求解首先在Matlab 优化工具箱中编写目标函数的M 文件 myfun.m,返回x 处的函数值f ：function f = myfun(x)f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M 文件mycon.m ：function[c,ceq]=myobj(x)c=[17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3));x(1)/(x(2)*x(3))-1.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-400;117.04*x(4)^4/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-0.003*x(4);(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^12)-5.5;(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5];ceq=[];最后在command window 里输入：x0=[230;21;8;420;120;160];%给定初始值[x,fval,exitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],[],[],@my obj,output) %调用优化过程5.1.3最优解以及结果分析运行结果如下图所示：由图可知，优化后的最终结果为x=[123.3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096]f(x)=2.36e*107由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整,所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后：x=[124 100 2 148 150 130]f(x)=6.16 *1076.结果对比分析若按初始值减速器的体积V大约为6.32×107mm3，而优化后的体积V则为6.16×107mm3,优化结果比初始值体积减少为：Δν＝1－(6.16×107/6.32×107)×100%＝2.5%所以优化后的体积比未优化前减少了2.5%，说明优化结果相对比较成功。
7.学习心得体会学习机械优化设计课程的心得体会通过将近一学期的学习，对这门课有了初步的了解和认识，学期伊始，浏览全书，发现全是纯理论知识，觉得这门课会很枯燥，但是又回过头来想想，作为21世纪的大学生，要使自己适应社会需求，首先在做任何事之前都应该有正确的态度看待问题，把这些想法作为促使自己进步的动力，再去学习课本知识，效果应该很不一样，有了想法就付诸行动，随着对课本内容的学习跟老师的讲解，发现并不是像自己在学期初想的那样困难，特别是在老师介绍了一些与机械优化设计相关的计算机语言和计算机软件后，真正体会到科学优化设计的强大跟简洁明了，与传统优化设计方法相比较，大大提高了设计效率和质量。
传统设计方法常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算，经验类比或试验来确定初始设计方案，如不能满足指标要求，则进行反复分析计算—性能检验—参数修改，到满足设计指标要求为止。
整个传统设计过程就是人工凑试和定性分析比较的过程，是被动地重复分析产品性能，不是主动设计产品参数。
按照传统设计方法做出的设计方案，有改进余地，但不是最佳设计方案。
而现代化设计工作是借助电子计算机，，应用一些精确度较高的力学数值分析方法，优化软件进行分析计算，找最优设计方案，实现理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命可行性设计。
在进行程序求解的过程中，因为是初学Matlab软件，对很多问题的关键点不能够掌握，非线性约束如何书写，上、下限如何选择，函数格式如何书写，变量未定义等等或大或小的问题，但是在一步步排除错误、重新编写程序的过程中，渐渐的对Mtalab 熟悉起来，懂得了一些优化方法的简单计算过程和原理，省去了繁琐复杂的优化计算过程在学完课程之后，反思自己在学习过程中的得失，深深体会到，不论在人生的哪个阶段，都要对自己负责，做任何事都要耐心，细致，“千里之行，始于足下”，学会在物欲横流的社会大潮中，坚持踏踏实实走好人生的每一步。