初中数学竞赛专题：不等式 §5.1 一元一次不等式（组）5.1.1★已知2(2)3(41)9(1)x x x ---=-,且9y x <+,试比较1πy 与1031y 的大小. 解析 首先解关于x 的方程得10x =-.将10x =-代入不等式得109y <-+,即1y <-.又因为110π31<,所以110π31y y >5.1.2★解关于x 的不等式233122x xa a+-->. 解析 由题设知0a ≠,去分母并整理得(23)(23)(1)a x a a +>+-.当230a +>,即3(0)2a a >-≠时,1x a >-； 当230a +=,即32a =-时,无解； 当230a +<,即32a <-时,1x a <-.评注 对含有字母系数的不等式的解,也要分情况讨论.5.1.3★★已知不等式(2)340a b x a b -+-<的解为49x >,求不等式(4)230a b x a b -+->的解. 解析 已知不等式为(3)43a b x b a -<-.由题设知20,434.29a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩所以 2,7.8a b b a <⎧⎪⎨=⎪⎩由728a a <,可得0a <,从而0a <,78b a =. 于是不等式(4)230a b x a b -+->等价于721()2028a a x a a -+->,即5528ax a ->,解得14x >-. 所求的不等式解为14x >-.5.1.4★★如果关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解集为107x <,求关于x 的不等式ax b >的解集. 解析 由已知得(2)5a b x b a ->-,①710x ->-.②由已知①和②的解集相同,所以27,510,a b b a -=-⎧⎨-=-⎩ 解得5,3.a b =-⎧⎨=-⎩ 从而ax b >的解集是35x <. 5.1.5★求不等式111(1)(1)(2)326x x x +---≥ 的正整数解.解析 由原不等式可得1736x ≤,所以72x ≤是原不等式的解.因为要求正整数解,所以原不等式的正整数解为1x =,2,3. 5.1.6★★如果不等式组90,80x a x b -⎧⎨-<⎩≥的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a ,b ）共有多少对？ 解析 由原不等式组可解得98ab x <≤.如图所示,在数轴上画出这个不等式组解集的可能范围,可得01,93 4.8a b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩≤≤即09,2432.a b <⎧⎨<⎩≤≤ 所以,a =1,2,…,9共9个,25b =,26,…,32共8个,于是有序数对（a ,b ）共有9872⨯=个. 5.1.7★★★设a 、b 是正整数,求满足89910a b<<,且b 最小的分数a b. 解析 欲求b 的最小值,只需将b 放入一个不等式,然后估计出b 的下界,这里要用到整数的离散性,即若整数x 、y 满足x y >,则1x y +≥. 原不等式等价于8,99,10aba b ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 即89,109.b a a b <⎧⎨<⎩所以 819,1019.b a a b +⎧⎨+⎩≤≤故 9181910b b -+⋅≤, 解得19b ≥.又分数1719满足817991910<<,故b 最小且满足题意的分数是1719. 5.1.8★已知520m ≤≤,2530n ≤≤,求mn的最大值和最小值. 解析 因为520m ≤≤,2530n ≤≤,所以m 的最大值为20,最小值为5；n 的最大值为30,最小值为25.故m n 的最大值为204255m n ==；m n 的最小值为51306m n ==. 5.1.9★★求同时满足6a b c ++=,23a b c -+=和0b c ≥≥的a 的最大值及最小值. 解析 由6a b c ++=和23a b c -+=,得32a b +=,932ac -=. 再由0b c ≥≥得,393022a a +-≥≥,解此不等式,得332a ≤≤. 所以a 的最大值为3,最小值为32.5.1.10★求适合2x y x y ->+,且y 满足方程3523y y x -=+的x 取值范围. 解析 3523y y x -=+,所以35y x =+.于是2(35)35x x x x -+>++,2x <-.故x 的取值范围是2x <-.5.1.11★★当x 、y 、z 为非负数时,323y z x +=+,343y z x +=-,求334w x y z =-+的最大值和最小值.解析 由323,343,y z x y z x +=+⎧⎨+=-⎩解得14,57.3z x x y =-+⎧⎪-⎨=⎪⎩因为x 、y 、z 均为非负数.所以,从上面可得1547x ≤≤.334357416w x y z x x x =-+=-+-+269x =-.56727w -≤≤. 所以w 的最大值是677,w 的最小值是52-. §5.2 含绝对值的不等式（组）5.2.1★（1）解不等式1|32|2x -<-； （2）解不等式|32|3x ->-.解析 根据绝对值的非负性,易知（1）无解,（2）的解集为全体实数. 5.2.2★★解不等式|5||23|1x x ---<.解析 原不等式的零点为5、32.根据零点的情况分类讨论. （1）当5x >时,原不等式化为(5)(23)1x x ---<,解之,得3x >-.所以,此时不等式的解为5x >. （2）当32x <时,原不等式化为(5)(23)1x x --+-<,解之,得1x <-.（3）当352x ≤≤时,原不等式化为(5)(23)1x x ----<,解之,得73x >.所以,此时不等式的解为753x <≤. 综上,原不等式的解为1x <-或73x >.评注 解与绝对值有关的不等式的关键一点是根据绝对值的定义,去掉不等式中的绝对值符号.分类讨论是去绝对值符号的另一种重要方法. 5.2.3★解不等式|7||2|3x x +--<.解析1 如图,分别用A 、B 两点代表7-和2.|7||2|x x +--表示某点C （x 所对应的点）到A 点和B 点的距离差.又当1x =-时,C 点到A 、B 两点的距离差恰好为3.A B x当点C 靠近点A 时,C 到A 、B 两点的距离差变小,所以原不等式的解为1x <-.解析2 因为7-、2分别是|7|x +和|2|x -的零点,于是分三种情况讨论： （1）当7x <-时,原不等式变为(7)(2)3x x -++-<,此式恒成立,故7x <-是原不等式的解. （2）当72x -<≤时,原不等式变为(7)(2)3x x ++-<,解得 1x <-.所以,71x -<-≤是原不等式的解. （3）若2x ≥,原不等式变为(7)(2)3x x +--<,即53<,此不等式无解.5.2.4★★解不等式||3||3||3x x +-->. 解析 原不等式等价于|3||3|3x x +-->,①或 |3||3|3x x +--<-. ②①的解为32x >；②的解为32x <-. 所以,原不等式的解为32x <-或32x >. 5.2.5★解不等式：25||60x x -+>.解析 注意22(||)x x =,整体分解. 由题意得(||2)(||3)0x x -->,即 ||3x >或||2x <, 而由||3x >得3x >或3x <-,由||2x <得22x -<<.所以,原不等式的解为3x <-或22x -<<或3x >.5.2.6★★解不等式组：22350,|2|10.x x x ⎧+->⎨-<⎩解析 由22350x x +->得7x <-或5x >. 由|2|10x -<得812x -<<. 于是原不等式组的解就是75,812,x x x <->⎧⎨-<<⎩或 即87x -<<-或512x <<.5.2.7★★a 取何值时,不等式|25||42|x x a ++-<无实数解？解法1 欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,关键是求出|25||42|x x ++-的最小值. 因|25|x +、|42|x -的零点分别是52-、2.当52x -≤时,|25||42|(25)4214x x x x x ++-=-++-=--.当52x =-时,|25||42|x x ++-有最小值9； 当522x -<≤时,|25||42|25429x x x x ++-=++-=,最小值及最大值都是9； 当2x >时,|25||42|252441x x x x x ++-=++-=+,无最小值. 故|25||42|x x ++-的最小值为9.欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,则9a ≤. 解法2 由||||||a b a b ++≥,得|25||42||2542|9x x x x ++-++-=≥,故欲使不等式|25||42|x x a ++-<无实数解,只需9a ≤即可. 5.2.8★★若不等式|1||3|x x a ++-≤有解,求a 的取值范围. 解析1 利用不等式性质：|1||3||1(3)|4x x x x ++-+--=≥,又|1||3|x x a ++-≤, 可得4a ≥.解析2 根据绝对值的几何意义,因为|1|x +、|3|x -分别表示数轴上点x 到点1-和3的距离,所以|1||3|x x ++-表示数轴上某点到A ：1-和B ：3的距离和.从图可见,不论x 在A 点左边或者B 点右边时,x 到A 、B 点距离和至少为4；当x 在AB 两点之间时,x 到A 、B 点距离和为4.所以4a ≥.x评注 解绝对值不等式常用分类讨论方法 （1）当1x -≤时,原不等式化为224a x -≥≥； （2）当13x -<<时,原不等式化为4a ≥； （3）当3x ≥时,原不等式化为224a x -≥≥. 综上所述,4a ≥.本题中,两个绝对值符号中未知数的系数相同,所以我们利用了绝对值的几何意义. 5.2.9★已知0n <且||m nm m n-=+,求m 的取值范围. 解析 整理可得(1||)1||m m n m -=+.因为0n <,所以(1||)01||m m m -<+,即 (1||)0m m -<.（1）当0m <时,1||0m ->,解之得10m -<<. （2）当0m >时,1||0m -<,解之得1m >. 综上,m 的取值范围为10m -<<或者1m >. 5.2.10★解不等式24||30x x -+>. 解析1 因为24||3(||1)(||3)0x x x x -+=-->,所以||1x <或||3x >,即11x -<<或者3x >或者3x <-.解析 2 考虑函数2()4||3f x x x =-+.注意到对任意实数x ,有()()f x f x -=.从函数图象来看,这个函数的图象关于y 轴对称,即只需作出0x >时的图象,再把函数图象关于y 轴作对称即可. 如图,可知,原不等式的解为使得图象在x 轴上方的x 的取值集合：11x -<<或者3x >或者3x <-.评注当我们从函数图象的角度去解不等式时,有两点需要引起读者注意：(||)f x表示的函数图象是()f x在x轴正向部分图象及其与关于y轴翻折；|()|f x的图象是把()f x在x轴下方的图象关于x轴翻折后的图象.由这两点,利用数形结合的方法,是比较巧的.5.2.11★★解不等式2|41|3x x x-+>.解析（1）当2410x x-+≥,即2x≥2x≤,原不等式变形为2413x x x-+>. 解不等式组,得x>或x.（2）当2410x x-+<,即22x<,原不等式变形为2(41)3x x x--+>.此时,不等式组无解. 综上,原不等式的解为x>或x.（本题从几何解释为使2|41|y x x=-+的图象在3y x=图象上方的x的取值范围.如图.）5.2.12★★已知||1x≤,||1y≤,且|||1||24|k x y y y x=++++--,求k的最小值和最大值.解析解题的关键是把绝对值符号去掉,必要时可以分类讨论.因为||1x≤,||1y≤,所以11x-≤≤,11y-≤≤.所以10y+≥.又222y -≤≤,故3233y x --≤≤,从而240y x --<. 当0x y +<时,有()(1)(24)25k x y y y x y =-+++---=-+. 因为11y -≤≤,所以3257y -+≤≤,此时37k ≤≤. 当0x y +≥时,有()(1)(24)25k x y y y x x =+++---=+. 同样,当11x -≤≤时,3257x +≤≤,即37k ≤≤. 综上所述,37k ≤≤.又当1x =时,7k =,当1x =-时,3k =,所以,k 的最值是3,最大值是7.5.2.13★★实数a 、b 、c 满足不等式||||a b c +≥,||||b c a +≥,||||c a b +≥.求证：0a b c ++=.解析1 若a 、b 、c 中有一个为零时,设0a =,则||0b c +=,所以,0b c +=,故0a b c ++=.下面可设a 、b 、c 均不等于零.（1）当a 、b 、c 全为正数时,则b c a +≤,c a b +≤,a b c +≤,这不可能.（2）当a 、b 、c 为二正一负时,不妨设0a >,0b >,0c <.则由||b c a +≤,得a b c a -+≤≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（3）当a 、b 、c 为一正二负时,不妨设0a >,0b <,0c <,于是由||b c a +≤,得a b c -+≤,所以0a b c ++≥.又有||||a b c +≤得：a b c +-≤,所以0a b c ++≤,从而0a b c ++=.（4）当a 、b 、c 全为负数时,于是由条件得a b c a +-≤≤,b c a b +-≤≤,c a b c +-≤≤,所以2()a b c a b c ++++≤,所以0a b c ++≥,矛盾.综上所述,得0a b c ++=.解析2 把题设的3个不等式两边平方后相加,得2222222()222a b c a b c ab bc ca +++++++≥,故 2()0a b c ++≤,从而0a b c ++=.5.2.14★★★★实数a 、b 、c 满足a b c ≤≤,0ab bc ca ++=,1abc =.求最大的实数k ,使得不等式||||a b k c +≥恒成立.解析 当a b ==2c =时,则实数a 、b 、c 满足题设条件,此时4k ≤. 下面证明：不等式||4||a b c +≥对满足题设条件的实数a 、b 、c 恒成立.由已知条件知,a 、b 、c 都不等于0,且0c >.因为10ab c =>,210a b c+=-<, 所以0a b <≤.由根与系数的关系知,a 、b 是一元二次方程22110x x c c++= 的两个实数根,于是4140c c∆=-≥, 故 314c ≤. 所以 21||()4||a b a b c c c +=-+==≥4. 5.2.15★★★已知（1）0a >；（2）当11x -≤≤时,满足2||1ax bc c ++≤；（3）当11x -≤≤时,ax b +有最大值2.求常数a 、b 、c .解析 由（1）知2y ax bx c =++为开口向上的抛物线,由（1）、（3）知2a b +=.①由（2）知||1a b c ++≤, ② ||1c ≤. ③由①、②知|2|1c +≤.④ 由③、④得1c =-.故0x =时,2y ax bx c =++达到最小值.因此,02b a-=,0b =. 由①得2a =.故 2a =,0b =,1c =-.5.2.16★★★证明|||2|||24max{,,}A x y x y z x y x y z x y z =-++-+-+++=,其中max {x ,y ,z }表示x 、y 、z 这三个数中的最大者.解析 欲证的等式中含有三个绝对值符号,且其中一个在另一个内,要把绝对值去掉似乎较为困难,但等式的另一边对我们有所提示,如果x 为x 、y 、z 中的最大者,即证4A x =,依次再考虑y 、z 是它们中的最大值便可证得.（1）当x y ≥,x z ≥时,|2|222224A x y x y z x y x y z x z x z x =-++-+-+++=-++=.（2）当y z ≥,y x ≥时,|2|222224A y x x y z y x x y z y z y z y =-++-+-+++=-++=.（3）当z x ≥,z y ≥时,因为||2max x y x y -++={x ,y }2z ≤,所以2||||24A z x y x y x y x y z z =----+-+++=.从而 4max A ={x ,y ,z }.§5.3 一元二次不等式5.3.1★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++<.解析 分解因式(3)()0x x a --<.（1）若3a >,解为3x a <<；（2）若3a <,解为3a x <<；（3）若3a =,原不等式变成2(3)0x -<,无解.5.3.2★★设a 为参数,解关于x 的一元二次不等式2(1)10ax a x -++<.解析 （1）0a =时,原不等式为10x -+<,解为1x >.（2）0a ≠时,分解因式得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. ①若0a >,则1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭. （i ）11a >,即01a <<时,解为11x a <<. （ii ）11a <,即1a >时,解为11x a <<.（iii ）11a=,即1a =时,不等式无解.②若0a <,则1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭, 解为1x >及1x a <.5.3.3★★若一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,求不等式20cx bx a ++<的解. 解析 1 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以,不等式20ax bx c ++>与(1)(2)0x x --<等价.即20b c x x a a++<（0a <）与2320x x -+<等价.所以 3,2,0,b a c a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪<⎪⎩即3,2,0.b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩ 故不等式20cx bx a ++<,即2230ax ax a -+<,且0a <.化为22310x x -+>,解得1x >,或12x <.解析2 因一元二次不等式20ax bx c ++>的解是12x <<,所以20ax bx c ++=的根是1,2,且0a <.由韦达定理,得3,2.b a c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 故不等式20cx bx a ++<的解是1x >,或12x <.5.3.4★★★欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,求m 的取值范围.解析 不等式2320x x -+<的解是12x <<.不等式2(1)(3)20m x m x -+--<,即 [(1)2](1)0m x x -+-<. ①（1）当1m =时,不等式为220x -<,即1x <,符合题意；（2）当10m ->,即1m >时,不等式①之解为211x m<<-,符合题意； （3）当10m -<,即1m <时,我们分两种情况讨论： 若211m <-,即1m <-时,不等式①之解为1x >,或21x m <-,不合题意； 若211m >-,即11m -<<时,不等式①之解为21x m>-,或1x <,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,则须221m -≥,从而01m <≤. 综上所述,欲使不等式2(1)(3)20m x m x -+--<与不等式2320x x -+<无公共解,m 的取值范围是0m ≥5.3.5★★对一切实数x ,不等式2(6)20ax a x +-+>恒成立,求a 的值.解析 由于不等式对一切x 恒成立,故a 应该满足20,6420,a a a >⎧⎨∆=(-)-⋅<⎩ 即20,20360,a a a >⎧⎨-+<⎩所以 218a <<.5.3.6★★设有不等式2221(2)3238t t x x t --+-≤≤, 试求对于满足02x ≤≤的一切x 成立的t 的取值范围.解析 令232y x x =-+,02x ≤≤,则在02x ≤≤上y 能取到的最小值为14-,最大值为2,从而总有2211(2),8432,t t t ⎧--⎪⎨⎪-⎩≤≥ 即22220,10,t t t ⎧--⎪⎨-⎪⎩≥≤ 所以111;t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩≤≤≤或11 1.t t ⎧⎪⎨-⎪⎩≥≤≤ 于是t的取值范围为11t --≤≤5.3.7★解不等式21311x x x x -+>-+. 解析 原不等式可化为213011x x x x -+->-+, 即 220(1)(1)x x x x -+>-+. ① 因为22172024x x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,所以①式等价于 (1)(1)0x x -+>,所以 1x <-或1x >.5.3.8★★解不等式12>. 解析 首先,由30,10x x -⎧⎨+⎩≥≥ 得13x -≤≤.将原不等式变形为1>.由于上式两边均非负,故两边平方后,整理得78x ->,所以780x ->,即78x <,并且2(78)16(1)x x ->+,所以264128330x x -+>,x >x <.综上可得,原不等式的解为1x -≤. 5.3.9★求不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数.解析 不等式21(1)37x x x -<-<+等价于不等式组22(1)1,(1)37,x x x x ⎧->-⎪⎨-<+⎪⎩即22320,560.x x x x ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩ 解2320x x -+>得2x >或1x <；解2560x x --<得16x -<<.故原不等式组的解为11x -<<或26x <<.x 的整数解为0x =,3,4,5共四个.5.3.10★★实数a 、b 、c 满足()()0a c a b c +++<.证明：2()4()b c a a b c ->++.解析 要证2()4()b c a a b c ->++,即证2()4()0b c a a b c --++>,联想到一元二次方程根的判别式,进而构造符合条件的二次函数,通过对函数图象与性质的研究使问题得以解决.设辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++,令10x =,得函数值1y a b c =++；令21x =-,得函数值22()y a c =+.因为()()0a c a b c +++<,所以120y y <.这说明,辅助函数2()()y ax b c x a b c =+-+++上两点11(,)x y 、22(,)x y 分布在x 轴的两侧,由此可见抛物线与x 轴有两个交点,也就是说方程2()()0ax b c x a b c +-+++=有两个不相等的实数根. 因此2()4()0b c a a b c ∆=--++>,故2()4()b c a a b c ->++.评注 有些数学问题,可以借助函数,利用对函数图象与性质的研究,将一些抽象的数量关系通过函数图象形象直观地反映出来,这种数形结合的思想非常重要.5.3.11★★★满足下列两个条件：（1）对所有正整数x ,220010x x n -+≥；（2）存在正整数0x ,使20020020x x n -+<的正整数n 的个数有几个？解析 先求满足条件（1）的正整数n .由22220012001200124n x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≥ 对所有正整数x 都成立,则n 不小于222001200124x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的最大值,故 222001200110001000100124n ⎛⎫--+=⨯ ⎪⎝⎭≥. 再求满足条件（2）的正整数n .240n ∆=2002->,21001n <.由于∆是正整数,且大于1,故此时方程220020x x n -+=的两根1x 、2x （均大于0）,满足 22121212()()4x x x x x x -=+-=∆>1,即12||1x x ->,从而,当21001n <时,必存在正整数0x ,使得20020020x x n -+<.所以,满足条件（1）、（2）的正整数n 有21001100010011001-⨯=（个）.5.3.12★★★设a 为实数,解不等式x <解析 （1）若0a ≤,由原不等式,得10,0.x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥ 此为矛盾不等式组,无解.（2）若0a >,则有2210,(1).x a x x -⎧⎪⎨->⎪⎩≥①② 由①,得 1x ≥.由②,得2220x a x a -+<,2(2)(2)a a a ∆=+-.此时又分两种情形：当02a <≤时,0∆≤,则不等式①②无解； 当2a >时,∆>0,注意到222212a a=>=. 此时不等式②的解为x <. 综上所述,当2a >时,原不等式才有解,此时不等式的解集为x <. 5.3.13★★★设0a >,解不等式1x +.①解析 因为0a >,①的左端非负,因此10x +≥. 下面分两种情形讨论.（1）0x ≥时,①式左右两边平方得22(1)a x x +≤,整理得22(2)10x a x +-+≥.②因为2222(2)4(4)a a a ∆=--=-,所以2a <时,0∆<,②对一切0x ≥成立.2a ≥时,0∆≥,22(2)1x a x +-+有实根,而且两根的积为1,和为非负数22a -,所以两根均为正.②的解为x 及0x ≤. （2）10x -<≤时,①式变为1x +. ③③式两边平方整理得22+++≥. ④x a x(2)10因为22+++有两个不相等的实数根,由韦达定理知,两根均为负.x a x(2)40a∆=+->,所以22(2)1由于两根积为1,较小的根小于1-,较大的根大于1-,所以④的解为<>.x a0(0)综合（1）、（2）,原不等式的解为：当2a≥时,x及x当02<<时,ax。