人教版七年级下册数学期末专项复习题：不等式（组）【含答案】阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程（组）是研究相等关系的重要手段，不等式（组）是探求不等关系的基本工具，方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别；等式两边都乘（或除）以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘以（或除以）同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性.2. 解不等式组与解方程组的主要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分.通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是（ ）A 、2116-<<-tB 、2116-<≤-tC 、2116-≤<-tD 、2116-≤≤-t(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题）解题思路：把x 的解集用含t 的式子表示，根据题意，结合数轴分析t 的取值范围. 【例2】如果关于x 的不等式71005)2(<>---x n m x n m 的解集为那么关于x 的不等式)0(≠>m n mx 的解集为 .（黑龙江省哈尔滨市竞赛试题）解题思路：从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出m ，n 的值或m ，n 的关系. 【例3】已知方程组⎩⎨⎧=+=-62y mx y x 若方程组有非负整数解，求正整数m 的值.（天津市竞赛试题）解题思路：解关于x ，y 的方程组，建立关于m 的不等式组，求出m 的取值范围.【例4】已知三个非负数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，求m 的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：本例综合了方程组、不等式（组）的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求m 的最大值与最小值.【例6】设765,4321,,,,,x x x x x x x 是自然数，7654321x x x x x x x <<<<<<，654543432321,,,x x x x x x x x x x x x =+=+=+=+，2010,7654321765=++++++=+x x x x x x x x x x 又，求321x x x ++的最大值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，寻找解题突破口.【例6】已知实数a ，b 满足,10,41≤-≤≤+≤b a b a 且a －2b 有最大值，求8a ＋2003b 的值. 解题思路：解法一：已知a －b 的范围，需知－b 的范围，即可知a －2b 的最大值得情形. 解法二：设a －2b ＝m （a ＋b ）＋n （a －b )＝（m ＋n )a ＋（m －n )b能力训练A 级1、已知关于x 的不等式4321432≥-≤+x mx x m 的解集是那么m 的值是 （“希望杯”邀请赛试题）2、不等式组⎩⎨⎧<->+5242b x a x 的解集是20<<x ，那么a ＋b 的值为（湖北省武汉市竞赛试题）3、若a ＋b ＜0，ab ＜0，a ＜b ，则b b a a --,,,的大小关系用不等式表示为（湖北省武汉市竞赛试题）4、若方程组⎩⎨⎧+=++=+36542m y x m y x 的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围 是 （河南省中考试题）5、关于x 的不等式x a ax +>+33的解集为3-<x ，则a 应满足（ ） A 、a ＞1 B 、a ＜1 C 、1≥a D 、1≤a(2013年全国初中数学竞赛预赛试题）6、适合不等式21414312-≥+->-x x x 的x 的取值的范围是（ ）7、已知不等式0)2)(1(>+-x mx 的解集23-<<-x 那么m 等于（ ） A 、31 B 、31- C 、3 D 、－3 8、已知0≠a ，下面给出4个结论：①012>+a ；②012<-a ；③1112>+a ④1112<-a，其中，一定成立的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（江苏省竞赛试题）9、当k 为何整数值时，方程组 ⎩⎨⎧-=-=+ky x y x 3962有正整数解？（天津市竞赛试题）10、如果⎩⎨⎧==21y x 是关于x ，y 的方程08)12(2=+-+-+by ax by ax 的解，求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<-+>-331413x ax bx a x 的解集11、已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：－1，0，1，2那么，适合这个不等式组的所有可能的整数对（a ，b ）共有多少个？（江苏省竞赛试题）B 级1、如果关于x 的不等式03≥+ax 的正整数解为1，2，3那么a 的取值范围是（北京市”迎春杯“竞赛试题）2、若不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+2210x x a x 有解， 则a 的取值范围是___________.（海南省竞赛试题）3、已知不等式03≤-a x 只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围为 .（”希望杯“邀请赛试题）4、已知1121<-<-x 则12-x的取值范围为 . (“新知杯”上海市竞赛试题）5、若正数a ，b ，c 满足不等式组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<<+<<+<b c a b a c b a c b a c 4112535232611，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A 、a ＜b ＜cB 、 b ＜c ＜aC 、c ＜a ＜bD 、不确定（“祖冲之杯”邀请赛试题）6、一共（ ）个整数x 适合不等式99992000≤+-x xA 、10000B 、20000C 、9999D 、80000（五羊杯“竞赛试题）7、已知m ，n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2＞30，5n ＋3＜40，则mn 的值是（ ） A 、70 B 、72 C 、77 D 、84 8、不等式5+>x x 的解集为（ ） A 、25<x B 、25>x C 、25-<x D 、25->x （山东省竞赛试题）9、31,2351312++---≥--x x xx x 求已知的最大值和最小值. （北京市”迎春杯”竞赛试题）10、已知x ，y ，z 是三个非负有理数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2，若s ＝2x ＋y －z ，求s 的取值范围.（天津市竞赛试题）11、求满足下列条件的最小正整数n ，对于n 存在正整数k 使137158<+<k n n 成立.12、已知正整数a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，且1111=++cb a ，试求a ，b ，c 的值.不等式（组）例1 C 提示：解不等式组得3220t x -<<，则5个整数解为x ＝19，18，17，16，15.结合数轴分析，应满足14≤3－2t ＜15，故－6＜t ≤1162t -<≤-. 例2 1345x < 提示：(2)5m n x m n ->+，20m n -<，51027m n m n +=-，0m <，1345m n =.例3 1m =或3m = 提示：解方程组得81621x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由,0x y ≥⎧⎨≥⎩得－1≤m ≤0 例4 提示：由已知条件得325213a b c a b c +=-⎧⎨+=+⎩ ,解得73711a c b c =-⎧⎨=-⎩,m=3c －2.由000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩得73071100c c c -≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,解得37711c ≤≤,故m 的最大值为111-,最小值为57-例5先用x 1和x 2表示x 3,x 4，…，x 7,得312423125341264512756122233558x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =+⎧⎪=+=+⎪⎪=+=+⎨⎪=+=+⎪=+=+⎪⎩,因此x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7= 2 010.于是得121201013113100()20220x x x -==+-.因为x 2是自然数,所以1113()220x -是整数，所以x 1是10的奇数倍.又因为x 1＜x 2，故有三组解:x 1=10,x 2=94,或x 1=30,x 2=81,或x 1=50,x 2=68. 因此x 1+x 2的最大值为50+68=118,所以x 1+x 2 +x 3的最大值为2(x 1+x 2)=2×118=236. 例6解法一 ：∵0≤a －b ≤1①，1≤a +b ≤4 ②，由②知－4≤－a －b ≤－1③， ①+③得－4≤－2b ≤0，即－2≤－b ≤0④，①+④得－2≤a －2b ≤1要使a —2b 最大，只有a －b =1且－b =0. ∴a =1 且b =0，此时8a +2003b =8. 解法二 ：设a －2b=m(a+b)+n(a －b)=(m+n)a+ (m －n)b,知12m n m n +=⎧⎨-=-⎩,解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.而()11222a b -≤-+≤-,()33022a b ≤-≤,∴a －2b=()12a b -++()32a b -∴－2≤a －2b ≤1当a —2b 最大时，a +b=1，a －b=1∴b=0，a=1，此时8a +2003b =8. A 级 1.9102.11. 1提示:原不等式组变形为4252x a b x >-+<由解集是0＜x ＜2知40502a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=-⎩ 故a +b =2+(－1)=1 3.a ＜－b ＜b ＜－a 4.52＜m ＜7 5.B 提示：由ax +3a ＞3+x ,得(a －1)(x +3)＞0,.由不等式的解集为x ＜－3知x +3＜0, 所以a －1＜0,得a ＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k =2或3.10. 提示：由非负数性质求得a =2,b =5,原不等式组的解集为x ＜－3.11.原不等式组等价于322a xb b x ⎧≥⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩,因为该不等式组的整数解一1，0，1，2不是对称地出现，所以其解不可能是22b b x -<<必有32a b x ≤<，由整数解的情况可知213a -<≤-,232b<≤得a =－5,－4,－3;b =5,6.故整数对(a ,b )共有2×3=6对. B 级1.314a -≤<- 提示:由题意可知:3x a ≤-.由正整数解为1,2,3知334a ≤-<-,解得314a -≤<-2.a ≥－1 提示:原不等式组变形为1x ax ≥-⎧⎨≤⎩由不等式组有解知－a ≤1,故a ≥－13. 9≤a ＜124.211x-> 5. B 提示:原不等式组变形为1736c a b c c ≤++<,5823a a b c a <++<,71524b a bc b <++<. 6. C 示：若x ≥2000，则(x －2000)+x ≤9999，即2000≤x ≤5999, 共有4 000个整数; 若0≤x ＜2000,则(x －2000)+x ≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000个整数适合 若x ＜0，则2000－x +(－x ) ≤9999即－3999.5≤x ＜0，共有3999个整数适合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x 2＞(x +5)29.提示：解不等式，得711x ≤, 原式=()()()41223143x x x x -≥⎧⎪---≤<⎨⎪<-⎩,从而知最大值为4，最小值为3311-10.提示：s =x +2，2≤s ≤3 11.提示:由871513n n k <<+,得151387n k n +<<，即7687k n >> .又n 与k 是都是正整数，显然n ＞8，当n 取9,10,11,12,13,14时，k 都取不到整数. 当n =15时,9010578k <<,即61121378k << 此时是k =13故满足条件的最小正整数n =15,k =13. 12.由a b c ＜＜得111a bc ＞＞，故1113a b c a++＜，即31,3a a ＞＜，又因为1a ＞，故a=2，从而有1112b c +=，又11c b ＜，则212b ＞，即b ＜4，又b ＞a=2，得b=3，从而得c=6，故a=2，b=3,c=6即为所求.。