113第六章 参数估计一、 知识点1. 点估计的基本概念2. 点估计的常用方法(1) 矩估计法① 基本思想：以样本矩作为相应的总体矩的估计，以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。
(2) 极大似然估计法设总体X 的分布形式已知，其中),,,(21k θθθθΛ=为未知参数，),,(21n X X X Λ为简单随机样本，相应的),,,(21n x x x Λ为它的一组观测值．极大似然估计法的步骤如下：① 按总体X 的分布律或概率密度写出似然函数∏==ni i n x p x x x L 121);();,,,(θθΛ （离散型）∏==ni i n x f x x x L 121);();,,,(θθΛ （连续型）若有),,,(ˆ21nx x x Λθ使得);,,,(max )ˆ;,,,(2121θθθn n x x x L x x x L ΛΛΘ∈=，则称这个θˆ为参数θ的极大似然估计值。
称统计量),,,(ˆ21nX X X Λθ为参数θ的极大似然估计量。
② 通常似然函数是l θ的可微函数，利用高等数学知识在k θθθ,,,21Λ可能的取值范围内求出参数的极大似然估计k l x x x nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 将i x 换成i X 得到相应的极大似然估计量k l X X X nl l ,,2,1),,,,(ˆˆ21ΛΛ==θθ 注：当);,,,(21θn x x x L Λ不可微时，求似然函数的最大值要从定义出发。
3. 估计量的评选标准(1) 无偏性：设),,(ˆˆ21nX X X Λθθ=是参数θ的估计量，如果θθ=)ˆ(E ，则称θˆ为θ的无偏估计量。
(2) 有效性：设1ˆθ，2ˆθ是θ的两个无偏估计，如果)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则称1ˆθ较2ˆθ更有效。
4. 区间估计114 (1) 定义 设总体X 的分布函数族为{}Θ∈θθ),;(x F ．对于给定值)10(<<αα，如果有两个统计量),,(ˆˆ111n X X Λθθ=和),,(ˆˆ122n X X Λθθ=，使得{}αθθθ-≥<<1ˆˆ21P 对一切Θ∈θ成立，则称随机区间)ˆ,ˆ(21θθ是θ的双侧α-1置信区间，称α-1为置信度；分别称1ˆθ和2ˆθ为双侧置信下限和双侧置信上限． (2) 单侧置信区间(3) 一个正态总体下未知参数的双侧置信区间（置信度为α-1）二、 习题 1. 选择题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，则以下统计量①)(211n X X + ②)2(14321n X X X X X n ++++-Λ ③)2332(101121n n X X X X +++-作为总体均值μ的估计量，其中是μ的无偏估计的个数是A.0B.1C.2D.3(2) 设321,,X X X 是来自正态总体)1,(μN 的样本，现有μ的三个无偏估计量321332123211216131ˆ;1254131ˆ;2110351ˆX X X X X X X X X ++=++=++=μμμ其中方差最小的估计量是A.1ˆμB.2ˆμC. 3ˆμD.以上都不是 (3) 设0,1,0,1,1为来自0-1分布总体B(1,p)的样本观察值，则p 的矩估计值为 。
115A.51 B.52 C.53D.54 (4) 设 0,2,2,3,3为来自均匀分布总体),0(θU 的样本观察值，则θ的矩估计值为 。
A.1B.2C.3D.4(5) 设n X X X ,,,21Λ是来自总体X 的一个样本，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他 ,00),(2);(2ααααx x x f则参数α的矩估计量为αˆ＝ 。
A.X 31B.XC.X 3D.X 6 (6) 无论2σ是否已知，正态总体均值μ的置信区间的中心都是 。
A.μB.2σC.XD.2S(7) 设总体22),,(~σσμN X 已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度α-1的关系是 。
A.当α-1缩小时，L 缩短B. 当α-1缩小时，L 增大C. 当α-1缩小时，L 不变D.以上说法均错．2. 填空题(1) 若一个样本的观察值为0,0,1,1,0,1,则总体均值的矩估计值为_______,总体方差的矩估计值为________。
(2) 总体未知参数θ的极大似然估计θˆ就是__________函数的最大值点。
(3) 设0),,0(~>θθU X ，则θ的矩估计量和极大似然估计量分别为________________。
(4) 设总体X 服从几何分布{}Λ,2,1,)1(1=-==-k p p k X P k ．n X X X ,,,21Λ是来自X 的一个样本，则p 的矩估计量和极大似然估计量分别为_______________________。
(5) 设由总体未知）θθ)(,(~x F X 的样本观察值求得9.0}5.455.35{=<<θP ，则称______________为θ的一个置信度为________的置信区间。
(6) 设由来自总体)9.0,(~2μN X 容量为9的简单随机样本的样本均值5=x ，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为__________________。
116 (7) 设来自总体22),,(~σσμN X 未知，容量为16的简单随机样本的样本均值10=x ，样本方差4002=s ，则未知参数μ的置信度为α-1的置信区间为__________________。
(8) 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21Λ是来自X 的样本，当用X X X ,21-及321613221X X X -+作为μ的估计时，最有效的是_______________。
(9) 设n X X X ,,,21Λ和n Y Y Y ,,,21Λ是分别来自总体)2,(~)1,(~2μμN Y N X 和的两个样本，μ的一个无偏估计有形式∑∑==+=mij j ni iY b XaT 1．则b a 和应该满足条件＿__________；当_______=a ，_______=b 时，T 最有效。
3. 计算题(1) 设总体),(~p m B X ，即参数为p m ,的二项分布，p 为未知参数，nX X X ,,,21Λ为简单随机样本, 分别求p 的矩估计量和极大似然估计量。
(2) 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=其它,,0,10,)1()(x x x f θθ，其中1->θ是未知参数，n X X X ,,,21Λ为简单随机样本, 分别用矩估计极大似然估计θ。
(3) 设某种元件的使用寿命X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤>=-θθθθx x e x f x ,0,2);()(2，0>θ为未知参数，n X X X ,,,21Λ为简单随机样本, 求参数θ的极大似然估计量。
(4) 设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2σμN 的一个样本，适当选取c ，使得()∑-=+-1121n i i i X X c 为2σ的无偏估计量。
(5) 已知某种木材横纹抗压力的实验值),(~2σμN X ，对10个试件做横纹抗压力的试验数据如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(单位：公斤/平方厘米)，试以95%的可靠性估计该木材的平均横纹抗压力:①2σ未知； ② 2230=σ。
（6）为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得h S h x 20,1500==．如117果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间．(7)某厂生产的瓶装运动饮料的体积假定服从正态分布，抽取10瓶，测得体积（毫升）为595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。
求出方差的置信度为0.90的置信区间。
(8)随机地取某种炮弹9发做试验．求得炮口速度的样本标准差11=s m/s ．设炮口速度总体),(~2σμN X ，求炮口速度的均方差σ的置信度为0.95的双侧置信区间。
4. 证明题(1) 设n X X X ,,,21Λ是来自正态总体),(2σμN 的一个样本，其中μ已知．证明：估计量∑=-=n i i nX n S 122)(1μ是2σ的无偏估计量。
(2) 设n X X X ,,,21Λ为总体X 的一个样本，记μ为总体均值，),,2,1(n i i Λ=α是常数，且∑==ni i11α。
① 证明：∑=ni i iX 1α是μ的无偏估计；② 证明在μ的所有形如∑=ni i iX 1α的线性无偏估计中，以X 为最有效。
三、 练习题参考答案1. 选择题（1）C ； （2）B ； （3）C ； （4）D ； （5）C ； （6）C ； （7）A ； 2. 填空题（1）41ˆ,21ˆ==σμ（2）似然 （3） {}i n i X X ≤≤1max ,2 （4）X X 1,1 （5）. (35.5, 45.5) （6） (4.412, 5.588)（7） ())15(510),15(5102121αα--+-t t （8）X （9）m n a +=44,mn b +=413.计算题(1) 解：①),(~p m B X ，,ˆ,)(X mp X E ===μμ故mXp =ˆ，即为p 的矩估计量 ②),(~p m B X ，{}km k k m p p C k X P --==)1(，似然函数为：118 ∑-∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-===-==-∏∏ni i n i ii iii x m x ni x m ni x m x x mp p C p p C L 11)(11)1()1()(θ 求对数)1ln()(ln ln )(ln 111p x m p x C L ni i n i i ni x mi--+⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑∏===θ求导数∑∑-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=n i i ni i x m p x p L d d 11)(1110)(ln θθ， 令0)(ln =θθd L d ，解方程⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑==ni i n i i x mn p x p 11111，即,111∑∑==-=-ni ini ixx mn pp 所以xm x n m p n i i==∑=111，故p 的极大似然估计量为mXp=ˆ。
(2) 解：①矩估计法21)1()()(111++=+===++∞∞-⎰⎰θθθμθdx xdx x xf X E ； 又因为X A ==11ˆμ，便得θ的矩估计为XX --=112ˆθ。
②极大似然估计法．由题意有⎪⎩⎪⎨⎧<<+==∏∏==其他,010,)()1();()(11i ni i n ni i x x x f L θθθθ， ∑=++=ni i x n L 1ln )1ln()(ln θθθ，∑=++=ni i x n L d d 1ln 1)(ln θθθ, 令0)(ln =θθL d d便得到θ的极大似然估计量： ∑∑==--=--=ni i ni ix n xn11ln 111ln 1ˆθ。