第六章 参数估计
1．填空题
（1）设总体，),(~p N B X p 未知，是来自总体),,,(21n X X X "X 的样本，则参
数p 的矩估计量是 ；最大似然估计量是 。
（2）设是来自均匀分布),,,(21n X X X ")0)(1,(>+θθθU 总体的一个样本，
则θ的矩估计量是 ；θ的最大似然估计量是 。
2．设总体X 的概率密度为
⎩⎨⎧<<=−其它,010),(1
x x x p θθθ
其中θ为未知参数，是从总体),,(1n X X "X 中抽取的一个样本，求θ的矩估计和最大似然估计。
3．设总体X 的分布密度为 +∞<<∞−=−x e x p x
,21);(σσσ ),,,(21n X X X "是来自总体X 的样本，试求σ的矩估计和最大似然估计。
4．设总体X 的分布密度为
0, ,1
)(21221>+∞<<=−−θθθθθx e x p x
),,,(21n X X X "为来自总体X 的样本，试求1θ和2θ的矩估计。
5．设总体服从对数正态分布，其分布密度为
0,0 ,2)(ln exp 21
)(22>>⎭⎫⎩⎨⎧−−=σσσπx u x x x p ),,,(21n X X X "是来自总体X 的一个样本，试求参数µ和的最大似然估计。
2σ6．设总体X 的分布密度为 ⎩⎨⎧<≥=−−θθθx x e x p x ,
0,)()(),,,(21n X X X "是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的最大似然估计。
7．填空题
（1）设总体，是它的一个样本，则当常数
),(~2σµN X ),,,(21n X X X "=C 时，为的无偏估计。
∑−=+−1121)(n i i i X X
C 2σ（2）设总体)(~λP X ，是它的一个样本，则的一个无偏估计
量为 ),,,(21n X X X "2λ。
8．设和都是参数1ˆθ2ˆθθ的两个独立的无偏估计量，且，试求常数2
1ˆ2ˆθθD D =α和β，使是21ˆˆθβθα+θ的无偏估计，且在形如的无偏估计中方差最小。
21ˆˆθβθα+9．设总体，是它的一个样本，试求的最大似然估计，是否为的有效估计？ ),1(~2σN X ),,,(21n X X X "2
σ2ˆσ
2ˆσ2
σ10．设总体X 的分布密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧<<−=其它,00),(6)(3
θθθx x x x p ),,,(21n X X X "是它的一个样本，试求参数θ的矩估计量，是否是θˆθˆθ的相合估计？
11．设总体X 服从正态分布N （），（X 2,σµ1,…, X n ,…X 2n ）为来自X 的一个样本, ∑==n
i i X n X 1
1 （1）求常数C 使统计量 为∑=Λ−=n n i i X C 2||µσσ的无偏估计，并求的效率e().
ΛσΛ
σ（2）当1,0==σµ 时，求2)(X 与||X 的协方差。
12. 设总体X 的概率分布为
X 0 1 2 3
P 2θ )1(2θθ− 2θθ21−
其中θ是未知参数，利用X 的如下样本值： )2
10(<<θ3，1，3，0，3，1，2，3． 求θ的矩估计值和最大似然估计值。
13．设总体X 服从均匀分布U ()2,2+−θθ, θ>0, 是来自X 的样本。
(1) 证明θ的一个最大似然估计量为
),,,(21n X X X "
)],,,min(),,,[max(2
12121n n L X X X X X X ""+=Λ
θ
(2) 判断是否是θ的相合估计。
ΛL θ14．从大批彩色显像管中随机取100只，其平均寿命为10000小时，可以认为显像管
的寿命服从正态分布，已知均方差σ=40小时，以置信度95%求出整批显像管平均寿命µ的置信区间。
15．一批钢件的20件样品屈服点（吨/厘米2）为：
4.98；
5.11；5.20；5.20；5.11；5.00；5.61；4.88；5.27；5.38
5.46；5.27；5.23；4.96；5.35；5.15；5.35；4.77；5.38；5.54
设屈服点服从正态分布。
求：
（1）屈服点总体均值µ的置信度为0.95的置信区间；
（2）屈服点总体标准差σ的置信度为0.95的置信区间。
16．设为总体的样本，其中),,,(21n X X X "),(~2σµN X µ和为未知参数，
设随机变量是关于2σL µ的置信度为α−1的置信区间的长度，求。
)(2L E 17．两种机床生产同一个型号的滚珠，从甲机床生产的滚珠中抽取8个，从乙机床生
产的滚珠中抽取9个，测得这些滚珠的直径（单位：mm ）如下：
甲机床：15.0，14.8，15.2，15.4，14.9，15.1，15.2，14.8
乙机床：15.2，15.0，14.8，15.1，14.6，14.8，15.1，14.5，15.0
设两台机床生产的滚珠直径均服从正态分布。
（1）若时，求2221σσ=21µµ−的置信度为95%的置信区间。
（2）求方差比的置信度为95%的置信区间。
2221/σσ18．设0.50，1.25，0.80，2.00是来自总体X 的样本，已知X Y ln =服从正态分布)1,(µN .
（1） 求X 的数学期望EX （记EX 为b ）
， （2） 求µ的置信度为0.95的置信区间，
（3） 利用上述结果求b 的置信度为0.95的置信区间。