昭通学院学生毕业论文论文题目证明不等式的几种方法姓名学号 201103010128学院数学与统计学院专业数学教育指导教师2014年3月6日证明不等式的几种方法摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。

本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。

关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。

证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。

主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。

2.不等式证明的常用方法2.1 比较法比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。

具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式BA与1比较大小[]1。

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则b a ≤.”其一般步骤为：1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。

2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。

其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。

3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。

商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若ba1≤则b a ≤.”其一 般步骤为：1.作商：将左右两端作商。

2.变形：化简商式到最简形式。

3.判断：商与1的大小关系，就是判定商大于1还是小于1。

应用范围：当被证的不等式两端含有幂指数式时，一般使用商值比较法。

例1[]2. 1）设0>>b a .求证：a e +a e ->b e +b e -.2）0,,>c b a .求证：aa b b cc ≥3)(c b a abc ++.证明: 1）作差:ae +ae --be +be -=（a e -be ）+（ae 1+be 1）=（a e -b e ）]1[)(b a e +--.因为 1>e ,0>>b a ,0>+b a . 所以 b a e e >,1=0e >)(b a e +-. 所以 （a e -b e ）]1[)(b a e +--0>. 即 a e +a e ->b e +b e -.2）由c b a ,,的对称性，所以不妨设0≥≥≥c b a ，aa b b cc 与3)(c b a abc ++均为正数。

作商:3)(c b a c b a abc c b a ++=22c b a a--⨯22a c b b--⨯22a b c c--=33ac b a a---⨯33ba cb b---⨯33cb ac c---=3)(b a ba-⨯3)(c b c b -⨯3)(a c ca -由于0>≥≥cb a ,所以1≥b a ，1≥c b ，1≥ca.而且0≥-b a ,0≥-c b ,0≥-a c . 所以 3)(b a ba-⨯3)(c b cb -⨯3)(ac ca -1111=⨯⨯≥.所以a ab b cc ≥3)(c b a abc ++.2.2 综合法综合法是由因导果的逻辑推证方法，也就是从已知条件或已证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数的单调性。

经过一系列的中间问题寻找它们的部分联系，最后逐步推导出待证不等式[]3。

例2[]2. 已知01<<a ，02=+y x .求证：2log log 2)(yx a a y xa a++≤+. 证明:由01<<a ，0>x a ，0>y a ，则有+x a y a y x a a 2≥=y x a +2.从而有2log log 2)(y x a a y xa a++≤+ .所以原命题只需要证812≤+y x ，即41≤+y x .从而得： 4141)21(22≤+--=-=+x x x y x .当21=x 时取等号。

所以81log log 2)(+≤+a a y x a a 成立。

2.3 分析法分析法在数学方法中特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法。

一般从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备就可以证明待证不等式成立。

在数学证明中，它表现为：从数学题的特殊结论或需求问题出发，一步步地探索到题设已知条件的过程。

例3[]3. 设z y x ,,为互不相等的正数.求证：6>+++++yzx x z y z y x . 证明：先将要证明的不等式6>+++++yzx x z y z y x 看成一个整体，并假设它成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分6>++++yzx z x y z y z x 再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行组合形成新的部分（xzz x +）+（y z z y +）+（y x z y +）6>.再分析三个新的部分。

由xzz x x z z x 22+=+2>；yz z y y z z y 22+=+2>； xy y x y x x y 22+=+2>.所以6>+++++yzx x z y z y x 成立。

例4[]3. 设∈b a ,+R 且b a ≠.求证：2233ab b a b a +>+.证明:要使2233ab b a b a +>+；只要)())((22ab a ab b ab a b a +>+-+.要使)())((22ab a ab b ab a b a +>+-+；只要ab b ab a >+-22.（因为∈b a ,+R 0>+b a ） 要使ab b ab a >+-22；只要0222>+-b ab a .即0)(2>+b a .由b a ≠可知0)(2>+b a .所以不等式2233ab b a b a +>+成立。

2.4 数学归纳法数学归纳法是证明与自然数n 有关的不等式的有效方法。

如果不等式与自然数n 有关,我们不可能将所有的自然数一一加以论证,对于这类不等式,通常可应用数学归纳法来证明。

数学归纳法证明原理是一个关于自然数n 的命题只要满足以下两个条件：1.当1=n 时,命题成立。

2.假设k n =时，命题成立,并由此推出1+=k n 时,命题也成立。

例5[]4. 证明不等式:11312111>++⋯++++n n n )(N n ∈.证明：1)当1=n 时，112133********>=+++++成立. 2)假设当k n =时，不等式成立，即11312111>++⋯++++k k k ①要证当1+=k n 时，不等式成立，即14313121>++⋯++++k k k ②②式左边=)11431331231()1312111(+-++++++++⋯++++k k k k k k k+>11)43)(23)(1(32>+++k k k . 因此1+=k n 时成立。

综上所述，原不等式对任意自然数都n 成立。

2.5 反证法反正法是从否定所求的结论出发,经过正确的逻辑推理,引出一个矛盾的错误，从而肯定原命题的成立。

反正法是种间接证法，当不等式不便使用直接法证明时或自身是一种否定命题时，可考虑用反证法[]4。

反正法本身属于数学推理的常用方法，为了证明原命题A 导正确性，人们可以作试探性假设。

A 的反命题'A 为真，然后通过一连串地推理。

人们得出关于'A 的矛盾，这样就证明了'A 的错误。

因此，在基本逻辑原理中“排中律”的基础上，'A 的错误导致A 的正确[]5。

例6[]4. 设+∈R z y x ,,且1sin sin sin 222=++z y x .求证2π>++z y x .证明：假设2π≤++z y x ，则有220ππ<-≤+<z y x 因为正弦函数在区间)2,0(π上是增函数，所以z z y x cos )2sin()sin(=-≤+π①由①式两边平方得：y x z z y x xcisy y x y x 22222222sin sin sin 1cos sin cos sin 2sin cos cos sin +=-=≤++.整理得：0)cos(sin sin ≤+y x y x .由上可知)2,0()(,,π∈+y x y x ,则说明：0)cos(sin sin ≤+y x y x 不可能成立。

因此2π>++z y x 成立 。

2.6 换元法换元法是根据不等式的结构特征，选取适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化以便证明[]4。

例7[]4. 设+∈R z y x ,,且1=+y x .求证：425)1)(1(≥++y y x x .证明：令t x +=21，t y -=21.由于1=+y x ，+∈R z y x ,,所以)21,21(-∈t .则 xy y x y y x x )1)(1()1)(1(22++=++=2441162523t t t -++425411625=≥.2.7 放缩法放缩法又叫传递法,它是跟据不等式的传递性，将所求证的不等式的一边适当的放大或缩小，使不等式变得清晰明朗，从而证得原不等式成立。

放缩放的具体做法要依据不式的结构来确定。

如对于和式，采用将某些项代之以较大（较小）的数来获得一个较大（较小）的和，或用舍弃一个或几个正项的方法，来获得较小的和；对于分式，则采用缩小（放大）分母或放大（缩小）分子，来增加（减少）商。

简单地说，放缩法是要证明不等式B A <成立，而借助一个或几个中间变量通过适当地放大或缩小达到证明不等式的手段。

其基本原理是不等式的传递性，关键要掌握放缩的“度”[]1。

例8[]3.已知R x x x f ∈+=,1)(2.求证2121)()(x x x f x f -<-. 证明：因为222121212221222122212111))((111111)()(xx x x x x xx x x x x x f x f +++-+=+++--+=+-+=-21212121212121x x x x x x x x x x x x x x -=+-+≤+-+<.所以2121)()(x x x f x f -<-.例9[]3.证明：不等式n n2131211<⋯+++)(N n ∈.证明：因为)1(21221--=+-<+=k k kk k k k.所以n n n n 2)13423121(2131211=--+⋯+-+-+-+<⋯+++.所以n n2131211<⋯+++成立。