行列式的定义及性质
（张俊敏）
● 教学目标与要求
通过学习，使学生理解n 阶行列式的定义，熟练掌握二、三阶行列式性质，能运用性质求行列式的值。

● 教学重点与难点
教学重点：n 阶行列式的定义及性质。

教学难点：n 阶行列式定义的理解。

● 教学方法与建议
通过复习高中时所学过的二阶与三阶行列式，了解行列式及其应用，在此基础上引出一般意义上的n 阶行列式定义。

要特别指出：行列式是一种运算，其结果是一个数；其意义在于在由数组成的形式（方阵）与数域之间建立了一种联系，使得我们可以通过数来研究形式的东西，同时可以通过形式的东西来研究与数有关的问题。

● 教学过程设计
1.问题的提出
求解二、三元线性方程组
（二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221
211
212111b x a x a b x a x a ，当021122211≠-a a a a 时，可用消元法求得解为：
22
21
1211
222121*********
122211a a a a a b a b a a a a b a a b x =
--=
二阶、三阶行列式
22
212
1122
211112112221121
12112a b a a a a b a a a a a a b b a x =
--=
）二阶与三阶行列式 1. 二阶行列式：（回顾高中时的二阶与三阶行列式）
1112112212212122
det()a a A a a a a a a ==-，其中A 为方程组的系数矩阵。

2. 三阶行列式：
32
3122
21
1333312321
1233322322
11
33
32
31
232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-= 注：（1）这是把三阶行列式转化为比它低一阶的二阶行列式进行的计算。

三阶行列式算出来也是一个数。

(2)三阶行列式 也是方形矩阵上定义的一种运算。

2. n 阶行列式的定义：
1112122
23
221
23
22122211
12
23
1
3
1
221
22
2,1
111
2
,1
(1)n n
n
n n n nn
n n nn
n n nn
n n n
n n n n a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-=
=-+
+- n 阶行列式中去掉元素ij a 所在行所在列的元素后，得到的1n -阶行列式叫做ij
a 的余子式，记作ij M ，即11
1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1
,1
,1
j j n i i j i j n n ij
i i j i j i n n n j n j nn
a a a a a a a a M a a a a a a a a -+----+-++-+++-+=
并称(1)i j ij ij D M +=-为ij a 的代数余子式。

引入这两个记号则可将(2.4)式简记为
111111*********
det (1)(1)k
n
n n n k k k A a M a M a M a M ++==-+
+-=-∑ （2.5）
或1111121211111
det n
n n k k k A a D a D a D a D ==++
+=∑ （2.6）
式（2.4）（2.5）和（2.6）统称为n 阶行列式按第一行的展开式。

注：1 记一阶行列式a a =，但注意不要将其与绝对值概念混淆。

2一些特殊的行列式（下三角行列式，上三角行列式，对角型行列式） nn n n a a a a a a
2
1
222111000
nn
n n
a a a a a a 0
0222112
11
n λλλ 21 n λλλ
2
1
其中一类很好求值的行列式——上三角行列式。

例1
（1）
11
22
2122
11
1122
2
12
000nn n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a a ==
=
（2）
1
2
12
n n
λλλλλλ=
3.行列式的性质
行列式运算从本质上讲，是由数组成的一种形式上定义的运算，但随着形式的改变，行列式的值有那些变化呢？下面性质就解决了这些问题。

性质1 行列式与它的转置行列式相等。

注 性质1表明行列式中行与列具有同等的地位，也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成立，反之亦然。

性质2 互换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论 若行列式中有两行元素完全相同，则行列式为零。

性质3 用数 k 乘行列式某一行中所有元素，等于用数 k 乘此行列式。

换句话叙述此性质即是
推论 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号的外面。

性质4 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列式为零。

性质5 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式可拆成两个行列式的和。

性质6 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。

注 性质 2、性质3、性质6对应行列式的三种运算，复杂行列式运算均可通过这三种运算的组合运算化为简单行列式运算，然后利用简单行列式（如例2.1）的结果算出复杂行列式的值。

2.三种运算分别记为：
① 互换i 、j 两行(列)： )(j i j i c c r r ↔↔ ———— 性质 2；
② 第i 行(列)提取公因数k ： )1(1k
c k
r i i ⨯⨯ ———— 性质3的推论；
③ 将第j 行(列)的k 倍加到第i 行(列)上去： )(j i j i c k c r k r ++ ————性质6
4.举例
例2 计算d
c b a c b a b a a
d c b a c b a b a a d
c b a c b a b a a d
c
b
a
D ++++++++++++++++++=
3610363234232.
解一：
c
b a b a a c
b a b a a
c b a b
a a d c b
a D r r r r r
r +++++++++=====---3630232002
33
41
2
b a a b a a
c b a b a a d
c b a r r r r +++++=====--3002000342
3 4
0020003
4a a b a a
c b a b a a d
c b
a r r =++++=
====-. 注 1 注意运算中次序有时不能颠倒；还要注意运算i j r r +(加到第i 行上去)与i
j r r +的区别。

2 算法不是唯一的，如也可有解法二： 解二：
21
323141
42432334
00232432002036310630003730020000r r r r r r r r r r r r a b c d
a b
c
d
a
a b a b c a b c a a b D a a b a b c a a b a a b a b c a a b a b c d a b c a a b a a a
b a ------++++++===========+++++++++++======
+.
例3 设nn
n n nk n k kk
k k
b b b b
c c c c a a a a D 1111111111110=，
kk k k ij
a a a a a D 11111)(det ==，nn
n n
ij b b b b b D 11112)(det ==， 证明: 21D D D =.
证明： (分析：对D 1作行运算，相当于对D 的前k 行作相同的行运算，且D 的后n 行
不变；对D 2作列运算，相当于对D 的后n 列作相同的列运算，且D 的前k 列不变。

)
∵ 对D 1作适当的运算j i r k r +，可将D 1化为下三角形；同理作适当的列运算
j i c k c +，可将D 2化为下三角形，分别设为
kk kk k p p p p p D 1111110===， nn nn
n q q q q q D 1111120==，
故对D 的前k 行作上述行运算，和对D 的后n 列作上述列运算后，D 可化为
2111111111111111
0D D q q p p q q q c c c c p p p D nn kk nn
n nk n k kk
k ===
注 这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块运算，且关于块的运算同于行列式的运算。