宣城二中2019届高二年级第一学期开学考
数学试题
命题人：侯必胜
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）
一、选择题(本大题共12小题，共60分)
1.集合，集合则P与Q的关系是( )
A.P=Q
B.P⊋Q
C.P⊊Q
D.P∩Q=ϕ
2.已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，则满足f（2x-1）＜f （）的x取值范围是（）
A.（，）
B.[，）
C.（，）
D.[，）
3.若cos （-α）=，则sin2α=（）
A. B. C.- D.-
4.若将函数f（x）=2sinxcosx-2sin2x+1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）
A. B. C. D.
5.设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）
A.m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B.m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C.m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D.m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
6.如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三
角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度：cm），则此几何体的侧面积是
（）
A.cm2
B.cm2
C.8cm2
D.14cm2
7.过点P（2，4）作圆C：（x-1）2+（y-2）2=5的切线，则切线方程为（）
A.x-y=0
B.2x-y=0
C.x+2y-10=0
D.x-2y-8=0
8.过点P(0，-2)的直线L与以A(1，1)、B(-2，3)为端点的线段有公共点，
则直线L的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=（）
A.140
B.70
C.154
D.77
10.若f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取值范围为（）
A.[1，2）
B.[1，2]
C.[1，+∞）
D.[2，+∞）
11.等差数列{a n}的前n项之和为S n，已知a1＞0，S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，S4，…，S11，S12中最大的是（）
A.S12
B.S7
C.S6
D.S1
12.若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）
A.[2，+∞）
B.（-∞，-6]
C.[-6，2]
D.（-∞，-6]∪[2，+∞）
第II卷（非选择题）
二、填空题(本大题共4小题，共20分)
13.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数f（x），若函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式0
)
(
<
x
x
f
的解集为 ______ ．
14.若实数x，y满足
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
-
-
≤
-
+
1
1
4
2
x
y
x
y
x
，则x+y的取值范围是 ______ ．
15.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，
OA=2，M为OA的中点．则异面直线OB与MD所成角余弦值为 ______ ．
16.已知向量a=（3，-2），b=（x，y-1），且a∥b，若x，y均为正数，则
y
x
2
3
+
的最小值是 ______ ．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.已知一次函数f（x）是增函数且满足f（f（x））=4x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin B=3bcos C，a2-c2=2b2（Ⅰ）求C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为213，求b的值．
19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD
（Ⅰ）证明：平面PBD⊥平面PAC
（Ⅱ）设AP=1，AD=3，∠CBA=60°，求A到平面PBC的距离．
20.已知圆C和x轴相切，圆心在第三象限并在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长为7
2（1）求圆C的方程．
（2）已知直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，求a的取值范围．21.已知函数f（x）=
2
1
)
12
2
cos(
)
12
2
sin(
3
)
12
2
(
sin2-
+
+
+
+
π
π
πx
x
x
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）（x＞0）的图象与直线y =交点的横坐标由小到大依次是x1，x2…，x n，求数列{x n}的前2n项的和．
22.已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）
（1）求证：数列{a n-1}是等比数列；
（2）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3…），如果对任意n∈N*，都有2
4
1
t
t
b
n
≤
+，求实数t的取值范围．
宣城二中2019届高二年级第一学期开学考
数学试题答案和解析
1.C
2.A
3.D
4.C
5.B
6.C
7.C
8.B
9.D 10.A 11.C 12.D
13.（-1，0）∪（0，1） 14.[1，3] 15. 16.8
17. （本小题满分10分）解：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＞0）．
由f（f（x））=4x-3，得：a（ax+b）+b=4x-3，
即a2x+ab+b=4x-3，所以，，解得：或，
因为a＞0，所以a=2，b=-1．所以f（x）=2x-1；
（2）由f（x）＜m，得m＞2x-1．
不等式f（x）＜m对于一切x∈[-2，2]恒成立，
即为m＞2x-1对于一切x∈[-2，2]恒成立，
因为函数f（x）=2x-1在[-2，2]上为增函数，所以f max（x）=f（2）=3．
所以m＞3．所以，实数m的取值范围（3，+∞）．
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵由已知及正弦定理可得，sin C sin B=sin B cos C，
∵sin B≠0，∴tan C=，∴C=．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，cos C==，∴a2+b2-c2=ab，又∵a2-c2=2b2，∴a=3b，∴由题意可知，S△ABC =absin C=b2=21，
∴b2=28，可得：b =2．…（12分）
19. （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，
∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅱ）∵AP=1，AD=，∠CBA=60°，
∴AC=，，
∵PC=PB=，∴=，
设A到平面PBC的距离为h，∵V A-PBC=V P-ABC，∴，解得h =．∴A到平面PBC 的距离为．
20. （本小题满分12分）解：（1）设圆心为（a，b），（a＜0，b＜0），半径为r，
则b=3a，r=-3a，
圆心到直线的距离d ==-，
∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2，
∴（-）2+（）2=（-3a）2，即a2=1，解得a=-1，
则圆心为（-1，-3），半径为3，则圆C的标准方程（x+1）2+（y+3）2=9．
（2）∵直线l：ax+y+6=0与圆C没有公共点，
∴圆心C（-1，-3）到直线l的距离d大于半径r，
即d =＞3，由-．∴a的取值范围是（-，0）．
21. （本小题满分12分）解：
（Ⅰ）
==sinx
所以f（x）的值域为[-1，1]
（Ⅱ）由正弦曲线的对称性、周期性可知
，，
∴x1+x2+…+x2n-1+x2n=π+5π+…（4n-3）π =（2n2-n）π
22. （本小题满分12分）解：（I）由题可知：a1+a2+a3++a n-1+a n=n-a n①a1+a2+a3++a n+a n+1=n+1-a n+1②
②-①可得2a n+1-a n=1..（5分）
即：，又..（7分）
所以数列{a n-1}是以为首项，以为公比的等比数列（5分）
（II）由（I ）可得，（9分）
（7分）
由可得n＜3由b n+1-b n＜0可得n＞3（11
分）
所以b1＜b2＜b3=b4＞b5＞＞b n＞
故{b n}有最大值
所以，对任意n∈N*，有（10分）
如果对任意n∈N*，都有，即成立，
则，故有：，（11分）
解得或
所以，实数t的取值范围是（12分）。