Gc1
U1
G11 G21 G12
Y1
R2
GC2
U2
Y2
G22
G12和G21不为零时有耦合 G12=G21=0 无耦合 G12或G21为零称半耦合
G11 G12 Gs G G 22 21
PTBiblioteka LCTCLC
TC
PT
LC
F1C
TC
F2C
LC
FC
QB
混合器
FT
Q0
QA AC
（6-10）
设M有逆矩阵存在，则 U=M-1Y （6-11） u i u i 考虑到 y1 所以M-1 的各元素是 y
ui
j
y
y1
u i u y2 i ym y 2 y y m y
y
把M-1转置，得出一个辅助矩阵C C=(M-1)T (6-12) 通个转置，C的各元素是 u y 相对增益 λij是 y
（6-2） 式中kij表示第j个输入变量作用于第i个输出变量的放大 系数。 求λ11，首先求取λ11的分子项，除u1外，其它u不变， 则有 y1
u1 u 2 常数 k11
y 2 k 21 u1 k 22 u 2
（6-3）
y 再求λ11的分母项 y1 u1 ，除 y1外，其它y不变，由式 （6-2）可得 y1 k 11 u1 k 12 u 2
C Qo QA QB 0.25 0.75 0.75 0.25
由相对增益阵列可知图 6-2所示匹配是不合理的，可以重新配匹， 组成按出口浓度C来控制物料QB，而Qo由QA 来控制的系统。如 图6-5 所示，这样系统的关联影响就小得多了。
FC QA FT
混合器
QB
AC
Q0
AT
图 6-5 混合器浓度和流量控制系统
k 11 k 22 k 11 k 22 k 12 k 21
（6-5）
同样可推导出
k 11 k 22 22 11 k 11 k 22 k 12 k 21
k 12 k 21 12 21 k 11 k 22 k 12 k 21
（6-6） （6-7）
如果排成数阵形式
第6章 解耦控制系统
6.1 系统的关联分析
6.1.1系统的分析 在一个生产装置设置若干个控制回路，回路之间，就可能相互 关联，相互耦合，相互影响，构成多输入-多输出的相关（耦合） 控制系统。图6-1所示流量、压力控制方案就是相互耦合的系统。
PC
PT
FC
u1
FT
u2
图 6-1 关联严重的控制系统
R1
1 x EA K E x

（6-26） 显然（A-K）是一个对角阵，调整每一个ki值，直接影响相应的 输出变量yi 的过渡过程，但不影响其它的输出变量，这样就实现 了不相关的要求。yi的过渡过程是
y A K y

（6-27） 式中的 ai是由初始条件确定的系数。这种方案的缺点是仅可以进 行纯比例控制，需要有选择C=E-1的自由度。
（6-28） 即通过解耦，使各个系统的特性完全象原来的单回路控 制系统一样。 因此，解耦装置D(s)可以由式（6-28）求得
0 D11 s D12 s G11 s G12 s G11 s Ds G 22 s D 21 s D 22 s G 21 s G 22 s 0
0 k 21 u1 k 22 u 2
由上两式可得
k 21 y1 k11u1 k12 u1 k 22 y1 u1
y 2 常数
k11 k12
k 21 k11k 22 k12 k 21 k 22 k 22
（6-4）
在求得λ11的分子项与分母项可得λ11
yi u j u 11 yi u j y
1
0 G11 s Gs Ds 0 s G 22
G11 s G 22 s G 22 s G12 s G11 s G22 s G21 s G12 s G11s G 21 s G11s G 22 s
其次求取λ11的分母项
QA Qo C 1 Q A Qo Q A Qo Qo
（6-20）
因此可求得λ11
1 C Qo 11 1 C 0.25 1 C Qo Q A Qo C Q A QB
（6-21）
所以系统的相对增益阵列为
6.2 减少与解除耦合途径
6.2.1被控变量与操纵变量间正确匹配 对有些系统来说，减少与解除耦合的途径可通过被控 变量与操纵变量间的正确匹配来解决，这是最简单的 有效手段，理论上在前面已分析过，在此举例加以说 明。 例如图6-2所示混合器系统，浓度C要求控制75%，现 在来分析这个系统的关联程度，这样匹配是否合理。 对于这个系统有
1
G22 s G12 s G11 s G22 s G21 s G12 s （6-31） G21 s G11 s
(6-1) • 上式中分子项外的下标u表示除了uj以外，其它 都保持不变，即都为开环； • 分母项外的下标y表示除了yi以外，其它y都保持 不变，即其它系统都为闭环系统。
k11
k21 k12 k22
图6-4 双输入双输出对象静态特性
由图6-4可得该系统静态方程为
y1 k 11 u1 k 12 u 2
图6-9 双输入双输出串接解耦系统
由图6-9得 Y(s)=G(s)U(S) U(s)=D(s)P(s) Y(s)=G(s)D(s)P(s) （6-22） 由式（6-22）可知，只要能使G(s)D(s)相乘后成 为对角阵，就解除了系统之间耦合，两个控制回 路不再关联。亦可以这样分析，第一个控制回路 的控制作用u1 通过G21(s)影响y2，对第二个控制 回路来说是一个扰动因素，现通过解耦装置 D21(s)产生相应的控制作用u2，以补偿u1对y2的 效应。
(2). 在相对增益阵列中所有元素为正时，称之为正耦合。 当k11与k22同号（都为正或都为负），k12与k21中一正 一负时， 都为正值，且 ≤1 ，属正耦合系统。 ij ij
(3). 在相对增益阵中只要有一元素为负，称之为负耦合。 (4). 当一对 为1，则另一对 为0，此时系统不存在 ij ij 稳态关联。 (5). 当采用两个单一的控制器时，操纵变量uj与被控变 量yi间的匹配应使两者间的尽量接近 1。 ij (6). 如果匹配的结果是仍小 于1，则由于控制间关联， ij 该通道在其它系统闭环后的放大系数将大于在其它系 统开环时的数值，系统的稳定性往往有所下降。 (7). 千万不要采用 为负值的uj与yi的匹配方式，这时 ij 侯当其它系统改变其开环或闭环状态时，本系统将丧 失稳定性。 把Bristol阵列作为关联程度的衡量，已为人们所熟悉。 但明显地可以看出，它没有考虑动态项的影响，因此 按它作出的结论带有一定的局限性。
6.2.5模式控制
考虑如下系统
x Ax Bu y Cx

当系统的状态向量、输入向量和输出向量三者维数相同 时，可以采用模式控制。 1、 2 n 相异的特征值 ，则A 假设矩阵A具有实数的、 可表示成 A=E∧E-1 式中： E e1 , e2 en ，ei为右特征向量； T 1 E d 1, d 2 ,d n ， di为左特征向量； ∧=diag 1、 2 n ，为特征值
6.2.2控制器的参数整定 6.2.3减少控制回路 6.2.4串接的解耦控制 在控制器输出端与执行器输入端之间，可以串接入解耦 装置 D(s) ，双输入双输出串接解耦框图如图6-9所示。
控制器 R1 控制器-1 控制器-2 解耦装置 过程模型 Y1
R2
Gc(s)
P(s)
D(s)
U(s)
G(s)
Y2
Q0 Q A QB
QA QA C Q A Q B Q0
（6-17）
（6-18）
根据图6-2所示匹配，首先求取相对增益λ11（浓度C与 QA配对）的分子项
QA Q A QB C 1C QB Q A QB QA Q0
（6-19）
若令控制器 采用比例作用 u=-Gcy=-GcCx 闭环后的系统方程是

（6-23）
x A B G c C x （6-24）
如选择控制器矩阵为
Gc B EK
1
（6-25）
式中K是对角阵
0 k 1 k2 K k n 0
并能挑选输出矩阵C=E-1 ，则 注意到y=Cx=E-1x 故得
j i
（6-13） ij是M矩阵与C矩阵中各自对应（第 i行，第 j列） 因此， 元素的相乘。 这样，只要知道了所有的开环放大系数kij，相对增益都 可以求出。
yi u j u yi u j ij yi u j y u j u yi y
现以双输入双输出系统为例加以说明，由式（6-2）有
k 11 k 12 M k 21 k 22
那么
（6-14）
C M
1 T

k 22 k 21 k 11 k 22 k 12 k 21 k 12 k 11
（6-15）
所以
(6-16) 上式与前面按定义求得的相同。
k 11 k 22 k 12 k 21 k k 12 k 21 22k 11 k11 k 22 k12 k 21
u1 y1 y2 u2 λ 11 λ 12 λ 21 λ 22
（6-8） 上式称为布里斯托尔阵列(Briistol阵列)，或相对增益阵 列。
在双输入双输出情况下，下面几点很有用。 (1). 相对增益阵列中，每行和每列的元素之和为1，这 个基本性质在2 2变量系统中特别有用。只要知道了阵 列中任何一个元素，其它元素可立即求出。例如： 在λ11=0.5时 0.5 0.5 0.5 0.5 图6-1所示压力和流量系统就属此情况。 在λ11=1.2时 1.2 0.2. 0 . 2 1 . 2