实验二：时域采样与频域采样一 实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用二 实验原理1 时域采样定理对模拟信号()a x t 以T 进行时域等间隔采样，形成的采样信号的频谱ˆ()aX j W 会以采样角频率2()s s Tp W W =为周期进行周期延拓，公式为： 1ˆˆ()[()]()a a a s n X j FT x t X j jn T +?=-?W==W -W å 利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。
理想采样信号ˆ()a xt 和模拟信号()a x t 之间的关系为： ˆ()()()a a n xt x t t nT d +?=-?=-å 对上式进行傅里叶变换，得到：ˆ()[()()()()j t j t a a a n n X j x t t nT e dt x t t nT e dt d d +??+??-W -W -??=-?-?W=-=-蝌邋在上式的积分号内只有当t nT =时，才有非零值，因此:ˆ()()jn T a a n X j x nT e +?-W =-?W=å上式中，在数值上()()a x nT x n =，再将T w =W 代入，得到：ˆ()()()jn j a a T T n X j x n e X e ww w w +?-=W =W =-?W==å上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。
2 频域采样定理对信号()x n 的频谱函数()j X e ω在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到2()()j k N X k X e w p w == 0,1,2,,1k N =-L则有： ()[()][()]()N N N i x n IDFT X k x n iN R n +?=-?==+å即N 点[()]IDFT X k 得到的序列就是原序列()x n 以N 为周期进行周期延拓后的主值序列，因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M （即N M ³）。
在满足频率域采样定理的条件下，()N x n 就是原序列()x n 。
如果N M >，则()N x n 比原序列()x n 尾部多N M -个零点，反之，时域发生混叠，()N x n 与()x n 不等。
对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域采样，时域信号周期延拓”。
在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。
三 实验内容1. 时域采样实验:%时域采样实验A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200; %观察时间，Tp=64ms T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; %不同的采样频率n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1; %产生不同的长度区间n1,n2,n3x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1); %产生采样序列x1(n)x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2); %产生采样序列x2(n)x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3); %产生采样序列x3(n)f1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n的FFT变换f2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT变换f3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT变换k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; %x1(n)的频谱的横坐标的取值k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; %x2(n)的频谱的横坐标的取值k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; %x3(n)的频谱的横坐标的取值subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.') %此处也可用stem(n1,x1,'.')title('(1)Fs=1000Hz');xlabel('n1');ylabel('x1(n)');grib on; %添加网络线. subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.')title('(3)Fs=300Hz');xlabel('n2');ylabel('x2(n)');grib on;subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(5)Fs=200Hz');xlabel('n3');ylabel('x3(n)');grib on;subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1))title('(2) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')grib on;subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2))title('(4) FT[xa(nT)],Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')grib on;subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3))title('(6) FT[xa(nT)],Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')grib on;时域采样波形：2. 频域采样实验:%频域采样实验M=27;N=32;n=0:M; %产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2); %floor是向下取整例如floor(2.5)=2xb= ceil(M/2)-1:-1:0; %ceil(M/2)是取大于等于M/2的最小整数xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TF X32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n) subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(2) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(1)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');. axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(3) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(4) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(5) 32点频域采样');. xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(6) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])频域采样波形：四 思考题如果序列()x n 的长度为M ，希望得到其频谱()j X e ω在[0，2π]上N 点等间隔采样，当N M <时，如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样？答：n<m 时，频域抽样不够密，（x ）n 以周期进行延拓，频域产生混叠，抽样信号不能还原原信号。
可将m 分为n 长度的k 段，不足时域补零。
分段进行DFT 。
此时DFT 点数最少为N 次。
五 实验报告及要求（1）由上图可得：时域采样，对连续的信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱已采样信号为周期进行周期性的延拓形成的。
（2）由上图可得：时域采样，采样频率越高，时域内信号分辨率就越高，采集到的信号就越接近原始信号，在频谱上的频带就越宽。
这有利于后期频域分析相位分量的相位改变是不影响该波的频率成分和幅值大小，也就是说，在幅频内的本质是没有发生改变的，所以最终合成的波形幅值频谱是不会改变的。