备注：（1）、按照要求独立完成实验内容。
（2）、实验结束后，把电子版实验报告按要求格式改名（例：09号_张三_实验七.doc ）后，实验室统一刻盘留档。
实验四 时域采样与频域采样1、时域采样定理的要点 一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
二、实验原理a) 对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s/2π=Ω）为周期进行周期延拓。
公式为： )](ˆ[)(ˆt xFT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T b) 采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为：∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x )()()(ˆδ对上式进行傅立叶变换，得到：dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞-∞-∞=⎰∑-=Ω])()([)(ˆδ 实 验 题目 专业、年级、班级学 号 姓 名 时域采样与频域采样以下内容由实验指导教师填写实验项目完成情况实验项目成绩指导教师时 间2013年11月13日dt e nT t t x t j n a Ω-∞-∞=∞∞-∑⎰-)()( δ＝在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此∑∞-∞=Ω-=Ωn nTj aae nT x j X )()(ˆ 上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：∑∞-∞=-=Ωn nj aen x j X ω)()(ˆ上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj eX ，即T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。
2、频域采样定理的要点a) 对信号x(n)的频谱函数X(e jω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到2()(), 0,1,2,,1j N k NX k X e k N ωπω===-则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：()IDFT[()][()]()N N N Ni x n X k x n iN Rn ∞=-∞==+∑b) 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。
如果N>M ，()N x n 比原序列尾部多N-M 个零点；如果N<M ，z 则()N x n =IDFT[()N X k ]发生了时域混叠失真，而且()N x n 的长度N 也比x(n)的长度M短，因此。
()N x n 与x(n)不相同。
在数字信号处理的应用中，只要涉及时域或者频域采样，都必须服从这两个采样理论的要点。
对比上面叙述的时域采样原理和频域采样原理，得到一个有用的结论，这两个采样理论具有对偶性：“时域采样频谱周期延拓，频域采样时域信号周期延拓”。
因此放在一起进行实验。
三、实验内容（包括代码与产生的图形及结果分析）1. 给定模拟信号如下：xa(t)=Ae -αt sin(Ω0t)u(t)式中, A=444.128，α=50 π， Ω0=50 π rad/s ，将这些参数带入上式中，对x a (t进行傅里叶变换，它的幅频特性曲线如图1所示。
现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照xa(t)的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即Fs=1 kHz ，300 Hz ，200 Hz 。
观测时间选Tp=64 ms 。
要求： 编写实验程序，计算x 1(n)、 x 2(n)和x 3(n)的幅度特性，并绘图显示。
观察分析频谱混叠失真。
function tstem(xn,yn) %时域序列绘图函数%xn:被绘图的信号数据序列，yn:绘图信号的纵坐标名称（字符串） n=0:length(xn)-1; stem(n,xn,'.'); xlabel('n');ylabel('yn');axis([0,n(end),min(xn),1.2*max(xn)]);Tp=64/1000; %观察时间Tp=64微秒 %产生M 长采样序列x(n) % Fs=1000;T=1/Fs; Fs=1000;T=1/Fs; M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5; xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T); Xk=T*fft(xnt,M); %M 点FFT[xnt)] yn='xa(nT)';subplot(3,2,1);22图1 x a (t)的幅频特性曲线tstem(xnt,yn); %调用自编绘图函数tstem绘制序列图box on;title('(a) Fs=1000Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,2);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])Tp=64/300; %观察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x(n)% Fs=300;T=1/Fs;Fs=300;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)]yn='xa(nT)';subplot(3,2,3);tstem(xnt,yn); %调用自编绘图函数tstem绘制序列图box on;title('(a) Fs=300Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,4);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=300Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])Tp=64/200; %观察时间Tp=64微秒%产生M长采样序列x(n)% Fs=200;T=1/Fs;Fs=200;T=1/Fs;M=Tp*Fs;n=0:M-1;A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);Xk=T*fft(xnt,M); %M点FFT[xnt)]yn='xa(nT)';subplot(3,2,5);tstem(xnt,yn); %调用自编绘图函数tstem绘制序列图box on;title('(a) Fs=200Hz');k=0:M-1;fk=k/Tp;subplot(3,2,6);plot(fk,abs(Xk));title('(a) T*FT[xa(nT)],Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');axis([0,Fs,0,1.2*max(abs(Xk))])分析：由仿真的频谱图可知：当采样频率为1KHz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，频谱混叠严重，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，频谱混叠更严重，在折叠频率110Hz附近频谱混叠最严重。
对连续时间函数对采样使其离散化处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则，必将引起频域的混叠。
要满足要求信号的最高频率ωc不能采样频率的一半（ωs/2），不满足时域采样定理，频率将会在ω=π附近混叠最严重。
2. 频域采样理论的验证。
给定信号如下：编写程序分别对频谱函数X(e j ω)=FT ［x(n)］在区间［0, 2π］上等间隔采样32点和16点，得到X 32(k)和X 16(k)：再分别对X32(k)和X16(k)进行32点和16点IFFT ，得到x32(n)和x16(n)：分别画出X(e j ω)、X 32(k)和Ｘ16(k)的幅度谱，并绘图显示x(n)、x 32(n)和x 16(n)的波形，进行对比和分析，验证总结频域采样理论。
M=26;N=32;n=0:M;xa=0:M/2;xb=ceil(M/2)-1:-1:0;xn=[xa,xb]; Xk=fft(xn,512); X32k=fft(xn,32); x32n=ifft(X32k); X16k=fft(xn,16); x16n=ifft(X16k);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:511;fk=2*k/512;subplot(3,2,1);plot(fk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤+=其它02614271301)(n n n n n x 323232()IFFT[()] , 0,1,2,,31x n X k n ==161616()IFFT[()] , 0,1,2,,15x n X k n ==j 322π32()(e ), 0,1,2,31k X k X k ωω===j 162π16()(e ) , 0,1,2,15k X k X k ωω===xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200]) n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20])k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200]) n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])分析：对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N 点IDFT[()N X k ]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：()IDFT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞==+∑由于N<M ，所以发生了时域混叠失真，因此。