实验二-时域采样和频域采样一、实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。

要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。

二、实验原理及方法1、时域采样定理的要点：a)对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X 是原模拟信号频谱()aX j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓b)采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。

利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。

2、频域采样定理的要点：a)对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列。

三、实验内容及步骤1、时域采样理论的验证程序：clear;clcA=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=50/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3;n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w0*n3*T3);f1=fft(x1,length(n1));f2=fft(x2,length(n2)); %f3=fft(x3,length(n3)); %k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; %k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; % k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; % subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)');subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1))title('(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2))title('(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3))title('(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hz'); xlabel('f(Hz)');ylabel('·ù¶È')结果分析：由图2.2可见，采样序列的频谱的确是以采样频率为周期对模拟信号频谱的周期延拓。

当采样频率为1000Hz时频谱混叠很小；当采样频率为300Hz时，在折叠频率150Hz附近频谱混叠很严重；当采样频率为200Hz时，在折叠频率110Hz 附近频谱混叠更很严重。

由实验图像可以看出，时域非周期对应着频域连续。

对连续时间函数对采样使其离散化处理时，必须满足时域采样定理的要求，否则，必将引起频域的混叠。

要满足要求信号的最高频率Fc不能采样频率的一半（Fs/2），不满足时域采样定理，频率将会在ω=π附近，或者f=Fs/2混叠而且混叠得最严重。

2、频域采样理论的验证程序：clear;clcM=27;N=32;n=0:M;%xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %X32k=fft(xn,32) ;%x32n=ifft(X32k); %X16k=X32k(1:2:N); %x16n=ifft(X16k,N/2); %subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b)Èý½Ç²¨ÐòÁÐx(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20])k=0:1023;wk=2*k/1024; %subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c)16µãƵÓò²ÉÑù');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d)16µãIDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e)32µãƵÓò²ÉÑù');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f)32µãIDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])结果分析：该图验证了频域采样理论和频域采样定理。

对信号x(n)的频谱函数X(ej ω)在[0，2π]上等间隔采样N=16时， N 点IDFT[()N X k ]得到的序列正是原序列x(n)以16为周期进行周期延拓后的主值区序列：()IDFT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞==+∑由于N<M ，所以发生了时域混叠失真，因此，()N x n 与x(n)不相同，如图图3.3(c)和(d)所示。

当N=32时，如图图3.3(c)和(d)所示，由于N>M ，频域采样定理，所以不存在时域混叠失真，因此，()N x n 与x(n)相同。

由实验内容2的结果可知，对一个信号的频谱进行采样处理时，必须严格遵守频域采样定理，否则，用采样的离散频谱恢复原序列信号时，所得的时域离散序列是混叠失真，得不到原序列四、实验思考及解答如果序列x(n)的长度为M ，希望得到其频谱()j X e ω在]2,0[π上的N 点等间隔采样，当N<M 时，如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样？答：由实验内容2的结果可得：对于求频域采样点数N 小于原时域序列长度M 的N 点离散频谱时，可先对原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列()[()]()N N i x n x n iN R n ∞=-∞=+∑再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样：2()DFT[()] =(), 0,1,2,,1j N N N k N X k x n X e k N ωπω===-但是，所求的N 点离散频谱对应的时域离散序列是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列，而不是原序列x(n) 五、实验小结通过此次实验，对时域采样和频域采样的理论、定理的理解更加深入。

采样是模/数中最重要的一步，采样方法的正确与否，关系到信号处理过程的成功与否。

所以，无论是在时域还是频域，对信号采样必须仔细考虑采样的参数：采样频谱、采样周期、采样点数。

对一个域进行采样，必将引起另一个域的周期延拓，所以，我们要做，就是选取好采样的参数，避免另一个域周期延拓时发生混叠，否则，我们采样所得的数据肯定丢失一部分原信号的信息，我们便无法对原信号对原信号进行恢复和正确分析。