为边作等边△ADE(顶点 A、D、E 按逆时针方向排列)，连接 CE.
(1)如图①，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD＝CE，②AC＝CE＋CD；
第 7 题图 (2)如图②，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC＝CE＋CD 是否 成立？若不成立，请写出 AC、CE、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图③，当点 D 在边 BC 的反向延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写 出 AC、CE、CD 之间存在的数量关系． (1)证明：①∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，AD＝AE， ∠BAC＝ ∠DAE＝ 60°， ∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝ ∠CAE， 在△ABD 和△ACE 中，
2 AE＝AD－DE＝ 1，
2 1 ∴B1G＝23， 22 ∴BG＝1， 6 ∴CG＝BC－BG＝ 5；
6 (3)解：不能．
理由：若四边形 CEAG 是平行四边形，则必须满足 AE∥CG，AE＝ CG，
∴AD－AE＝BC－CG， ∴DE＝BG， 由(1)知，△CDE≌△CBF， ∴DE＝BF，CE＝CF， ∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形， ∴∠GFB＝ 45°，∠CFE＝ 45°， ∴∠CFA＝ ∠GFB＋∠CFE＝ 90°， 此时点 F 与点 B 重合，点 D 与点 E 重合，与题目条件不符， ∴点 E 在运动过程中，四边形 CEAG 不能是平行四边形． 9. 如图，已知△ABC 中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm.如果点 P 由 B 出发沿 BA 向 点 A 匀速运动，同时点 Q 由 A 出发沿 AC 向点 C 匀速运动，它们的速度均为 2 cm/s.连 接 PQ，设运动的时间为 t(单位：s)(0≤t≤4)．
第 4 题图
第 4 题解图
26
5. 如图，在▱ ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，∠AOB＝75°，BD
＝4，将△ABC 沿 AC 所在直线翻折，若点 B 的落点记为 E，连接
BE 与 OA 交于点 F，则 OF 的长度为______．
第 5 题图
6－ 2 2
6. 如图①，已知 AD∥BC，AB∥CD，∠B＝ ∠C. (1)求证：四边形 ABCD 为矩形； (2)如图②，M 为 AD 的中点，在 AB 上取一点 N，使∠BNC＝ 2∠DCM. ①若 N 为 AB 中点，BN＝ 2，求 CN 的长； ②若 CM＝ 3，CN＝ 4，求 BC 的长．
2020 年九年级数学中考压轴专题：折叠问题与动点问题
1. 如图①，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF.如图②，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH， 点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N.若 AD=2，则 MN=_____ .
第 1 题图 1 3 2. 边长为 4 的菱形纸片 ABCD 中，∠A＝60°，折叠菱形纸 片 ABCD，使点 C 落在 DP(P 为 AB 中点)所在直线上的 C′ 处，得到经过点 D 的折痕 DE，则 CE＝________．
∴∠2＋∠3＝ 90°，
∴∠1＝ ∠3，
在△CDE 和△CBF 中，
∠D＝ ∠CBF
DC＝BC
，
∠1＝ ∠3 ∴△CDE≌△CBF(ASA);
(2)解：在正方形 ABCD 中，AD∥BC，
∴△GBF∽△EAF， ∴BG＝ BF，
AE AF 由(1)知，△CDE≌△CBF， ∴BF＝ DE＝ 1，
2 ∵正方形的边长为 1， ∴AF＝AB＋BF＝ 3，
∴△APQ∽△ABC，
∴AP＝AQ， AB AC
即10－2t＝2t，解得 t＝20，
10 8
9
即当 t 为20 s 时，PQ∥BC； 9
(2)∵AB＝10 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，
∴AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC 为直角三角形，
∴∠C＝90°，
如解图，过点 P 作 PD⊥AC 于点 D，
32
(3)存在．
如解图③，过点 D 作 DM⊥PE 于点 M，作 DN⊥AC 于点 N，
易证△ADN∽△ACD， ∴DN＝AD，即DN＝ 8 ，
CD AC 6 10 ∴DN＝24，
5
第 10 题解图③ ∵∠POD＝∠COD， ∴DM＝DN＝24，
5 ∴ON＝OM＝ OD2－DN2＝7，
5 ∵S△POD＝12OP ·DM，S△POD＝12×12PD ·DC， ∴OP ·DM＝3PD， ∴OP＝5－5t，
(3)不存在．理由如下：
假设存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则 S△AQP＝12S△ABC，
即－6t2＋6t＝1×1×8×6，
5
22
整理得 t2－5t＋10＝0，
∵b2－4ac＝(－5)2－4×10＝－15<0，
∴此方程无解，
即不存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分．
AB＝AC ∠BAD＝ ∠CAE， AD＝AE ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD＝CE； ②∵BC＝BD＋CD，AC＝BC，BD＝CE， ∴AC＝CE＋CD； (2)解：AC＝CE＋CD 不成立， AC、CE、CD 之间存在的数量关系是：AC＝CE－CD. 理由：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，AD＝AE， ∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD＝ ∠DAE＋∠CAD， 即∠BAD＝ ∠CAE， 在△ABD 和△ACE 中， AB＝AC ∠BAD＝∠CAE， AD＝AE ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD＝CE， ∵BC＝BD－CD， ∴BC＝CE－CD， ∵AC＝BC， ∴AC＝CE－CD；
第 6 题解图②
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝ CM＝ 3，EN＝ CN＝ 4，
设 BN＝ x，则 BC2＝ CN2－BN2＝ CE2－EB2，
∴42－x2＝62－(x＋4)2，
∴x＝1， 2
∴BC＝ CN2－BN2＝
42－（1）2＝ 3 7.
2
2
7. 已知△ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点(点 D 不与 B、C 重合)，以 AD
第题图 (1)证明：∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°， ∵∠B＝ ∠C， ∴∠B＝ ∠C＝ 90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． (2)解：如解图①中，延长 CM、BA 交于点 E.
第 6 题解图① ∵AN＝BN＝2， ∴AB＝ CD＝4， ∵AE∥DC， ∴∠E＝∠MCD， 在△AEM 和△DCM 中， ∠E＝∠MCD ∠AME＝∠DMC， AM＝DM ∴△AME≌△DMC， ∴AE＝CD＝4， ∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD， ∴∠NCE＝∠ECD＝∠E， ∴CN＝EN＝AE＋AN＝ 4＋2＝ 6. ②如解图②中，延长 CM、BA 交于点 E.
相交于点 E，F，且∠EAF＝ 60°. (1)如图①，当点 E 是线段 CB 的中点时，直接写出线段 AE，EF，AF 之间的数量关系； (2)如图②，当点 E 是线段 CB 上任意一点时(点 E 不与点 B、C 重合)，求证：BE＝ CF； (3)如图③，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB＝ 15°时，直接写出点 F 到 BC 的 距离.
·OH＝1×(8－t)×3＝12－3t.
2
2
∵FQ∥AC，
第 10 题解图②
∴△DFQ∽△DOC，相似比为DQ＝ t ， DC 6
∴S△DFQ＝ t2 ， S△DOC 36
∵S△DOC＝14S 矩形 ABCD＝14×6×8＝12 cm2， ∴S△DFQ＝12×3t26＝t32， ∴S 五边形 OECQF＝S△DBC－S△BOE－S△DFQ＝12×6×8－(12－32t)－t32＝－13t2＋32t＋12， ∴S 与 t 的函数关系式为 S＝－1t2＋3tห้องสมุดไป่ตู้12；
(3)解：补全图形如解图，
第 7 题解图 AC、CE、CD 之间存在的数量关系是：AC＝CD－CE. 8. 如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，点 E 在 AD 边上运动，且不与点 A 和点 D 重合，连接 CE，过点 C 作 CF⊥CE 交 AB 的延长线于点 F，EF 交 BC 于点 G. (1)求证：△CDE≌△CBF； (2)当 DE＝ 1时，求 CG 的长；
第 9 题图 (1)当 t 为何值时，PQ∥BC； (2)设△AQP 的面积为 S(单位：cm2)，当 t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值； (3)是否存在某时刻 t，使线段 PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时 t 的值； 若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意知 BP＝2t，AP＝10－2t，AQ＝2t， ∵PQ∥BC，
8 ∴PM＝18－5t，
58 ∵PD2＝PM2＋DM2， 即(8－t)2＝(18－5t)2＋(24)2，
58 5 解得 t1＝16(不合题意，舍去)，t2＝13192， ∴当 t＝112 s 时，OD 平分∠COP.
39 11. 已知四边形 ABCD 是菱形，AB＝ 4，∠ABC＝ 60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB，DC
8 (2)如解图②，过点 O 作 OH⊥BC 交 BC 于点 H，则 OH＝1CD＝1AB＝3 cm.
22
由矩形的性质可知∠PDO＝∠EBO，DO＝BO，
在△DOP 和△BOE 中，
∠PDO＝∠EBO
OD＝OB
，
∠DOP＝∠BOE
∴△DOP≌△BOE(ASA)，
∴BE＝PD＝(8－t)cm，
则
S△BOE＝12BE
2 (3)连接 AG，在点 E 运动过程中，四边形 CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时 DE 的长；若不能，说明理由．