2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．sin60°＝（）A．B．C．D．2．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．2：1B．1：2C．4：1D．1：43．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（）A．平均数B．频数分布C．中位数D．方差4．方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3B．x1＝0，x2＝3C．x1＝，x2＝﹣D．x1＝3，x2＝﹣35．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）A．2cm B．3cm C．5cm D．8cm6．将抛物线y＝x2向上平移1个单位，就得到抛物线（）A．y＝x2+1B．y＝（x+1）2C．y＝x2﹣1D．y＝（x﹣1）27．某人沿着坡度为1：2.4的斜坡向上前进了130m，那么他的高度上升了（）A．50m B．100m C．120m D．130m8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕A逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，是图中阴影部分的面积为（）A．π﹣6B．πC．π﹣3D．+π9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为过点（﹣，0）且平行于y轴的直线，则下列结论中正确的是（）A．abc＞0B．a+b＝0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝60°，点P是△ABC外一点，BP＝6，CP＝3，则线段OP的最大值为（）A．9B．4.5C．3D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离是5.8cm，那么A、B两地的实际距离是km．12．已知x＝1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a＝0的一个根，则a的值是．13．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为．14．已知某小区的房价在两年内从每平方米8100元增加到每平方米12500元，设该小区房价平均每年增长的百分率为x，根据题意可列方程为．15．若圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则此圆锥的侧面积是cm2．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2﹣1012…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是．17．如图，▱ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，EC、EF分别交对角线BD于点H、G，则DG：GH：HB＝．18．如图，已知射线BP⊥BA，点O从B点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA向右运动；同时射线BP绕点B顺时针旋转一周，当射线BP停止运动时，点O随之停止运动．以O为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒度．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：2sin60°﹣3tan45°+；（2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．20．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？21．现有A、B两个不透明的盒子，A盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各1张，B盒中装有红色、黄色卡片各1张，这些卡片除颜色外都相同．现分别从A、B两个盒子中任意摸出一张卡片．（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为；（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，﹣1），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A1的坐标为；（2）在网格内以点（1，1）为位似中心，把△A1B1C1按相似比2：1放大，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；若边AC上任意一点P的坐标为（m，n），则两次变换后对应点P2的坐标为．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，CE⊥AD于E．（1）求证：CD2＝DE•DA；（2）当∠BED＝47°时，求∠ABC的度数．24．如图，某数学社团成员想利用所学的知识测量广告牌的高度（即图中线段MN的长），在地面A处测得点M的仰角为60°、点N的仰角为45°，在B处测得点M的仰角为30°，AB＝5m，MN⊥AB于点P，且B、A、P三点在同一直线上．求广告牌MN的长（结果保留根号）．25．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当BD＝2，sin D＝时，求AE的长．26．某商场将进货单价为30元的商品以每个40元的价格售出时，平均每月能售出600个，调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．（1）为了使平均每月有10000元的销售利润且尽快售出，这种商品的售价应定为每个多少元？（2）当该商品的售价为每个多少元时，商场销售该商品的平均月利润最大？最大利润是多少？27．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．（1）求m的值；（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．28．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E、F分别在边BC、AD上，将四边形ABEF沿直线EF翻折，点A、B的对称点分别记为A′、B′．（1）当BE＝时，若点B′恰好落在线段AC上，求AF的长；（2）设BE＝m，若翻折后存在点B′落在线段AC上，则m的取值范围是．2019-2020学年江苏省无锡市江阴市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．【解答】解：sin60°＝．故选：C．2．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选：B．3．【解答】解：由于方差能反映数据的稳定性，需要比较这两名学生了5次短跑训练成绩的方差．故选：D．4．【解答】解：x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0，x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3，故选：B．5．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝8cm，∴CE＝CD＝4cm．在Rt△OCE中，OC＝5cm，CE＝4cm，∴OE＝＝＝（cm），∴AE＝AO+OE＝5+3＝8（cm）．故选：D．6．【解答】解：将抛物线y＝x2向上平移1个单位得到的抛物线是y＝x2+1．故选：A．7．【解答】解：如图，根据题意知AB＝130米，tan B＝＝1：2.4，设AC＝x，则BC＝2.4x，则x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50（负值舍去），即他的高度上升了50m，故选：A．8．【解答】解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝π，故选：B．9．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，故abc＜0，故选项A错误；∵对称轴为直线x＝﹣，∴﹣，得a＝b，a﹣b＝0，故选项B错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴2b+c＜0，故选项C错误；∵对称轴为直线x＝﹣，当x＝1时，y＜0，∴x＝﹣2时的函数值与x＝1时的函数值相等，∴x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a+c＜2b，故选项D正确；故选：D．10．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴将△POC绕点O顺时针旋转120°，得到△HOB，连接PH，过点O，作OE⊥PH，∴PC＝BH＝3，OH＝OP，∠POH＝120°，∴∠OHP＝∠OPH＝30°，且OE⊥PH，∴PE＝EH＝OP，∴PH＝OP，在△BPH中，PH≤BP+BH＝9，∴OP≤3，∴OP的最大值为3，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．【解答】解：根据题意，5.8÷＝5800000厘米＝58千米．即实际距离是58千米．故答案为：58．12．【解答】解：将x＝1代入方程得：2﹣1+a＝0，解得：a＝﹣1，故答案为：﹣1．13．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，解得m＝1．故答案为1．14．【解答】解：设该小区房价平均每年增长的百分率为x，依题意，得：8100（1+x）2＝12500．故答案为：8100（1+x）2＝12500．15．【解答】解：圆锥的底面周长＝4πcm，圆锥的侧面积＝lr＝×4π×5＝10πcm2，故答案为10π．16．【解答】解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，则当y＝﹣5对应的x的值是x＝﹣1或x＝﹣3，故当y＜5时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．17．【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，∴△BCH∽△DEH，∴＝，∵点E、F分别是边AD、CD的中点，∴BC＝AD＝2DE，EF是△ACD的中位线，∴＝＝，EF∥AC，EF＝AC＝OA＝OC，∴DG＝OG，EG是△AOD的中位线，△EGH∽△COH，∴EG＝OA＝OC，＝＝，∴OH＝2GH，DG＝OG＝3GH，OB＝OD＝6GH，∴HB＝8GH，∴DG：GH：HB＝3：1：8；故答案为：3：1：8．18．【解答】解：∵射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，∴射线BP与⊙O相切，如图，当BP′与⊙O相切于D，连接OD，则OD＝1，OB＝2，OD⊥BP′，∴∠OBD＝30°，∵BP⊥BA，∴∠ABP＝90°，∴∠PBP′＝60°，∵＝30°，∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°，当BP″与⊙O相切于E，连接OE，同理∠ABP″＝30°，∴∠PBP″＝120°，∵＝60°，∴射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒60°，综上所述，射线BP与⊙O恰好有且只有一个公共点，则射线BP旋转的速度为每秒30°或60°，故答案为：30或60．三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【解答】解：（1）原式＝2×﹣3+3＝．（2）∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5，∴x＝2±20．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如右图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．21．【解答】解：（1）从A盒中摸出红色卡片的概率为，故答案为：．（2）画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的有4种结果，∴摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片概率为．22．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为（2，1）；故答案为：（2，1）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；P2的坐标为（﹣2m+3，2n+3）．故答案为：（﹣2m+3，2n+3）．23．【解答】证明（1）∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACB＝90°，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴CD：AD＝DE：CD，∴CD2＝DE•AD．（2）∵D是BC的中点，∴BD＝CD；∵CD2＝DE•AD，∴BD2＝DE•AD，∴BD：AD＝DE：BD；又∵∠ADB＝∠BDE，∴△BDE∽△ADB，∴∠BED＝∠ABC，∵∠BED＝47°，∴∠ABC＝47°．24．【解答】解：∵在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴P A＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设P A＝PN＝x米，∵∠MAP＝60°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝30°，AB＝5，∴＝，∴x＝，符合题意，∴MN＝MP﹣NP＝x﹣x＝（米），答：广告牌的宽MN的长为米．25．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵点C为弧BF的中点，∴弧BC＝弧CF．∴∠BAC＝∠F AC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OCA＝∠F AC，∴OC∥AE，∵AE⊥DE，∴OC⊥DE．∴DE是⊙O的切线；（2）∵sin D＝＝，∴设OC＝3x，OD＝5x，则5x＝3x+2，∴x＝1，∴OC＝3，OD＝5，∴AD＝8，∵sin D＝＝＝，∴AE＝．26．【解答】解：（1）设该商品售价x元，根据题意得：（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝10000，解得x1＝50，x2＝80（不合题意舍去），答：为了尽快售出，这种商品的售价应定为每个50元；（2）该商品的利润为：y＝（40+x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]＝﹣10x2+130x﹣3000；＝﹣10（x﹣65）2+12250∵当售价为65元时，可得最大利润12250元．27．【解答】解：（1）设对称轴交x轴于点E，交对称轴于点D，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3x（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BQ的表达式为：y＝﹣（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣，故点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．28．【解答】解：（1）由翻折的性质得：AB＝A′B′＝1，BE＝B′E＝，AF＝A′F，∠A′＝∠BAD＝90°，过点B′作B′H⊥BC于H，延长HB′交AD于Q，连接B′F，如图所示：则四边形ABHQ与四边形CDQH是矩形，∴HQ＝AB＝1，∠EHB′＝∠B′QF＝90°，B′H∥AB，∴△CHB′∽△CBA，∴＝，设B′H＝a，即＝，∴CH＝2a，∴EH＝BC﹣BE﹣CH＝2﹣﹣2a＝﹣2a，在Rt△EHB′中，EH2+B′H2＝B′E2，即（﹣2a）2+a2＝（）2，解得：a＝或a＝（不合题意舍去），∴B′H＝，EH＝，B′Q＝HQ﹣B′H＝1﹣＝，设AF＝x，∵四边形ABCD与四边形CDQH是矩形，∴AD＝BC＝2，DQ＝CH＝，∴FQ＝AD﹣DQ﹣AF＝2﹣﹣x＝﹣x，B′F2＝A′F2+A′B′＝x2+1，在Rt△FQB′中，x2+1＝（﹣x）2+（）2，解得：x＝，∴AF＝；（2）当F与A重合时，如图2所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝，由折叠的性质得：B'E＝BE＝m，AB'＝AB＝1，∠AB'E＝∠B＝90°，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣m，∠CB'E＝90°，∴CB'＝AC﹣AB'＝﹣1，在Rt△CEB'中，由勾股定理得：m2+（﹣1）2＝（2﹣m）2，解得：m＝；当B'与C重合时，E为BC的中点，如图3所示：m＝BC＝1；若翻折后存在点B′落在线段AC上，m的取值范围是≤m≤1；故答案为：≤m≤1．。