江西省宜春市宜丰县宜丰中学2021届高三数学暑期摸底考试试题 文第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，则M N =（ ）A ．{}1x x ≤ B ．{1x x ≤且0}x ≠ C ．{1}x x > D ．{1x x <且0}x ≠ 2．若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术”.利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图，则输出的n 值为（ ）（参考数据：7.50.1305,150.2588sin sin ≈≈） A ．6 B ．12 C ．24D ．484．已知变量,x y 满足约束条件2,4,1,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则3z x y =+的最小值为( ) A ．11B ．12C ．8D ．35．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则sin()πα-=（ ）A ．45-B ．45C ．35D ．35 6．m 、n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间不多于15分钟的概率为（ ） A ．13B ．14C ．15D ．169．设0.30.6a =，0.60.3b =，0.30.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．b c a <<D ．c b a ＜＜10．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+11．已知抛物线24,y x =上一点P 到准线的距离为1d ，到直线l :43110x y -+=为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．3B ．4C 5D 712．定义1nii nu =∑为n 个正数123,,,n u u u u ⋅⋅⋅的“快乐数”.若已知正项数列{}n a 的前n 项的“快乐数”为131n +，则数列136(2)(2)n n a a +⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前2019项和为（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20192018D ．20191010第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量()1,a m =，()3,2b =-，且()a b b +⊥，则m = ________.14．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生． 15．数式11111+++⋅⋅⋅中省略号“···”代表无限重复，但该式是一个固定值，可以用如下方法求得：令原式=t ，则11t t+=，则210t t --=，取正值得12t =.用类似方法可得=__________.16．圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点()2,1A -，与直线x ＋y ＝1相切的圆C 的方程是______.三、解答题（17－21题12分）17．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos b B a C c A =+. （1）求B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.18．2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，贫困发生率由2012年底的10.2%下降到2018年底的1.4%，创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例，2012年至2018年我国贫困发生率的数据如下表：（1）从表中所给的7个贫困发生率数据中任选两个，求两个都低于5%的概率；（2）设年份代码2015x t =-，利用线性回归方程，分析2012年至2018年贫困发生率y 与年份代码x 的相关情况，并预测2019年贫困发生率.附：回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211,ˆˆˆn niii ii i nni i i i x x y y x y nx y bay bx x x x nx ==-==---==---∑∑∑∑(ˆb 的值保留到小数点后三位） 19．如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA=PD ，∠DAB =60°. (1)证明：AD ⊥PB .(2)若PB 6，AB=PA =2，求三棱锥P-BCD 的体积．20．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为1(3,0)F -，且C 经过点1(3,)2P . （1）求C 的方程；（2）设C 与y 轴的正半轴交于点D ，直线l ：y kx m =+与C 交于A 、B 两点（l 不经过D 点），且AD BD ⊥.证明：直线l 经过定点，并求出该定点的坐标. 21．设函数()21xf x e x ax =---.(1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 四、选做题二选一（10分）22．已知直线l 的参数方程为132(12x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点1(,0)2P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB +的值. 23．设函数()15,f x x x x R =++-∈. （1）求不等式()10f x ≤的解集；（2）如果关于x 的不等式2()(7)f x a x ≥--在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.文科数学参考答案1-6 DDCCAA 7-12 DBCBAB13．8 14．60 15．4 16．()()22122x y -+=+17．（1）3π；（2【详解】（1）由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin cos sin B B A C C A A C =+=+A B C π++= ()sin sin A C B ∴+=，又()0,B π∈ sin 0B ∴≠ 2cos 1B ∴=，即1cos 2B =由()0,B π∈得：3B π=（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：224a c ac +-=又222a c ac +≥（当且仅当a c =时取等号） 2242a c ac ac ac ac ∴=+-≥-= 即()max 4ac =∴三角形面积S 的最大值为：14sin 2B ⨯=18．【详解】（1）由数据表可知，贫困发生率低于5%的年份有3个从7个贫困发生率中任选两个共有：2721C =种情况选中的两个贫困发生率低于5%的情况共有：233C =种情况∴所求概率为：31217p == （2）由题意得：321012307x ---++++==；10.28.57.2 5.7 4.5 3.1 1.45.85y ++++++==；71310.228.57.20 4.52 3.13 1.439.9i ii x y==-⨯-⨯-+++⨯+⨯=-∑；721941014928ii x==++++++=∑39.9ˆ 1.42528b-∴==-，ˆ 5.8a = ∴线性回归直线为：ˆ 1.425 5.8yx =-+ 1.4250-< 2012∴年至2018年贫困发生率逐年下降，平均每年下降1.425%当201920154x =-=时， 1.4254 5.80.1y =-⨯+=2019∴年的贫困发生率预计为0.1%19． 【详解】(1)证明:取AD 的中点O ，连接P0，BO ，BD ， ∵底面ABCD 是等边三角形 ∴BO ⊥AD ，又∵PA=PD ，即ΔPAD 等腰三角形， ∴PO ⊥AD ， 又∵PO BO =0. ∴AD ⊥平面PBO ， 又∵PB ⊂平面PBO . ∴AD ⊥PB ；(2)解:AB=PA=2∴由（1）知ΔPAD 是边长为2的正三角形，则PO 3. 又∵PB 6，∴PO 2+BO 2=PB 2，即PO ⊥BO ， 又由(1)知，PO ⊥AD .且BO AD=O. ∴PO ⊥平面ABCD. ∴2113231334P BCD BCD V S PO -∆=⨯⨯=⨯= ∴三棱锥P-BCD 的体积为1.20．（1）2214x y +=；（2）直线l 经过定点3(0,)5-. 【详解】（1）由题意，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，则3c =)23,0F ，由椭圆定义得12712422a PF PF =+=+=，2a =，221b a c =-=，所以C 的方程2214x y +=.（2）由已知得()0,1D ，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222148440k x kmx m +++-=， 当0∆>时，()11,A x y ，()22,B x y ，则122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，()121222214m y y k x x m k +=++=+，()()2212122414m k y y kx m kx m k-=++=+， 由AD BD ⊥得()()1212110DA DB x x y y ⋅=+--=，即22523014m m k --=+，所以，25230m m --=，解得1m =或35m =-， ①当1m =时，直线l 经过点D ，舍去； ②当35m =-时，显然有0∆>，直线l 经过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．【详解】(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调减少，在(0，＋∞)单调增加(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立．故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤时，f ′(x )≥0(x ≥0)，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)得e －x >1－x (x ≠0)，从而当a >时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e－x(e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时， f ′(x )<0，而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0，综上可得a 的取值范围为(－∞，]． 22． 【详解】（1）由直线l 参数方程消去t 可得普通方程为：2310x --= 曲线C 极坐标方程可化为：22cos ρρθ=则曲线C 的直角坐标方程为：222x y x +=，即()2211x y -+=（2）将直线l参数方程代入曲线C的直角坐标方程，整理可得：234t--=设,A B两点对应的参数分别为：12,t t，则122t t+=，1234t t=-12PA PB t t∴+=-===23．【详解】（1）当1x≤-时，()154210f x x x x=--+-=-≤，解得：31x-≤≤-当15x-<<时，()15610f x x x=++-=≤，恒成立当5x≥时，()152410f x x x x=++-=-≤，解得：57x≤≤综上所述，不等式()10f x≤的解集为：{}37x x-≤≤（2）由()()27f x a x≥--得：()()27a f x x≤+-由（1）知：()42,16,1524,5x xf x xx x-≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩令()()()22221653,171455,151245,5x x xg x f x x x x xx x x⎧-+≤-⎪=+-=-+-<<⎨⎪-+≥⎩当1x≤-时，()()min170g x g=-=当15x-<<时，()()510g x g>=当5x≥时，()()min69g x g==综上所述，当x∈R时，()min9g x=()a g x≤恒成立()mina g x∴≤(],9a∴∈-∞。