若其n次近似解为:
n
则n+1次近似解满足：
d n1 n n 0 d n
n KT n n 0
2013-7-1
NONLINEAR FEM
k 0.2 u P 0.006 u1
2013-7-1
NONLINEAR FEM
30
Load - Deflection
0.020
0.018
0.015
0.013
0.010
P
0.008
0.005
0.003
0.000 0 0.01 0.02 0.03 0.04 u 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
J.T.ODEN, 1972年。
《非线性有限元分析》，吕和洋，
化学工业出版社，1988年
《非线性橡胶材料的有限元分析》，杨晓翔，
石油工业出版社，1999年。
2013-7-1
NONLINEAR FEM
2
商 业 软 件

主要有德国的ASKA；
英国的PAFEC；
法国的SYSTUS； 美国的ALGOR、ABQUS、ADINA、ANSYS、 SAP90 、 BERSAFE 、 BOSOR 、 COSMOS 、 ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。
2013-7-1
NONLINEAR FEM
11
INTRODUCTION
几何非线性 应变——位移关系是非线性的。 大位移小应变的情况 （梁或板壳的大挠度弯曲） 大位移大应变的情况 （橡胶材料、结构的非线性失稳） 求解 —— 相对比较复杂，需要修改基本方程。
平衡方程参考变形后的构形 几何关系应计入二次项
2013-7-1
NONLINEAR FEM
12
INTRODUCTION
状态非线性
许多普通结构的表现出一种与状态相关的非线性行为, 例如，一根只能拉伸的电缆可能是松散的,也可能是绷紧 的。轴承套可能是接触的,也可能是不接触的, 冻土可能 是冻结的,也可能是融化的。这些系统的刚度由于系统状 态的改变在不同的值之间突然变化。状态改变也许和载 荷直接有关（如在电缆情况中）， 也可能由某种外部原 因引起（如在冻土中的紊乱热力学条件）。
k u P
k k0 k N k0 kN
2013-7-1
constant function of u
NONLINEAR FEM 21
Problem Statement
k 0 k N u P
k N f ( u)
Given P find u. Assume f(u) is a known function.
33
非线性问题的一般处理方法
2013-7-1
NONLINEAR FEM
10
INTRODUCTION
材料非线性(Nonlinear stress-strain behavior) 应力——应变关系是非线性的。 塑性屈服（ s ） 非线性弹性（塑料、岩石、土壤等） 蠕变（高温环境变形随时间增大） 求解 —— 相对比较简单，不需要修改基本方程。
2013-7-1
NONLINEAR FEM
22
P
Hardening kN > 0
(kN = 0)
Slope k0 Softening kN < 0
u
2013-7-1
NONLINEAR FEM
23
Direct Substitution Method
1. 2. 3. 4.
5. 6.
Let load PA be applied to a softening spring (kN<0) Assume kN = 0 for the first iteration. Compute first approximation to displacement: u1 = PA/k0 Use u1 to compute new stiffness: k = k0 +f(u1) Compute next approximation to displacement: u2 = PA/k Generate sequence of approximations.
P
PA
a
b c
1
2
3
u1 u2 u3
2013-7-1
uA
u
29
NONLINEAR FEM
Example:
P= k 0.2000000000 0.1700000000 0.1647058824 0.1635714286 0.1633187773 0.1632620321 0.1632492630 0.1632463884 0.1632457413 0.1632455955 0.1632455627 0.1632455553 0.1632455537 0.1632455533 0.1632455532
2013-7-1
NONLINEAR FEM
31
非线性问题的一般处理方法
Newton-Raphson法（N-R法）
2013-7-1
NONLINEAR FEM
32
非线性问题的一般处理方法
------ Newton-Raphson法（N-R法）
P f K f 0
0.006 u Del u 0.0300000000 0.0352941176 15.00000000% 0.0364285714 3.11418685% 0.0366812227 0.68877551% 0.0367379679 0.15445930% 0.0367507370 0.03474506% 0.0367536116 0.00782121% 0.0367542587 0.00176085% 0.0367544045 0.00039645% 0.0367544373 0.00008926% 0.0367544447 0.00002010% 0.0367544463 0.00000452% 0.0367544467 0.00000102% 0.0367544468 0.00000023% 0.0367544468 0.00000005%
K f
2013-7-1
NONLINEAR FEM
5
INTRODUCTION
K D R K K D R R D
Stiffness and Forces are not functions of displacements.

2013-7-1
NONLINEAR FEM
17
非线性问题的一般处理方法
直接迭代法
2013-7-1
NONLINEAR FEM
18
非线性问题的一般处理方法
------ 直接迭代法
K f 0
解法： 假定初始值 0
解线性方程组
1 K 01 f
2013-7-1
NONLINEAR FEM
24
Sequence of Operations
u1 k P
u 2 k 0 k N1 u3
0
k
1 0 A
k N2

1 1
PA PA PA
25
u i 1 k 0 k Ni
2013-7-1


1
NONLINEAR FEM
P
P K
-f
-f
0 1 2 3
下凹一般收敛

0
n1 n n2
上凹一般发散

③ 每迭代一次需形成一次系数矩阵，并求解一次
线性方程组。 n K 11 f n
NONLINEAR FEM
2013-7-1
20
Typical Nonlinear Problem 1 D-O-F
接触 ——状态变化非线性类型形中一个特殊而重要的子集。
2013-7-1
NONLINEAR FEM
13
INTRODUCTION
材料非线性和几何非线性同时存在 （有时也存在接触） 塑性成型
（油箱冲压分析）
冲压导致的厚 度减薄
2014
NONLINEAR FEM
CHAPTER 9 非线性有限元分析
NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD
2013-7-1
NONLINEAR FEM
1
参 考 书 目
《非线性有限元分析》，张汝清，詹先 义，
重庆大学出版社，1990年。 《FINITE ELEMENTS OF NONLINEAR CONTINUA》
Stiffness and Forces are functions of displacements.
2013-7-1
NONLINEAR FEM
9
INTRODUCTION
Difficulty!
Nonlinear problems can cost as much as 10 to 100 times as much to solve as corresponding linear problems! We often try to approximate nonlinear solutions by linear solutions
状态变化（包括接触） Gaps opening or closing Phase changes Buckling
2013-7-1
NONLINEAR FEM
8
INTRODUCTION
Nonlinear Problem
K D R K K D R R D