A0
将式( 8) 代入( 9) 并整理得到
0
∫ ∫ ∫ ( BTS + N TQ5 ( N ) ue) dV0 = V0
N T Qw2 y3 - p 0 dV0 +
V0
y2
N Tq0 dA0
A0
( 9) ( 10)
式( 10) 是非线性的, 用 Newton-Raphson 方法对其线性化
Dnue = -
轮胎是一种典型的橡胶复合材料结构, 它是汽车最重要的部件之一, 支撑汽车的重量, 传 递汽车的牵引制动力矩, 并起缓冲隔振等作用。轮胎力学性能的好坏直接关系到汽车各种性能 的好坏。由于轮胎结构和材料的非均质各向异性, 载荷的复杂性, 以及大变形, 轮胎力学性能的 分析一直是十分困难的工作, 轮胎力学经历了从简单模型分析、网络分析到薄壳、厚壳分析, 三 维分析的过程。尽管壳单元可以大大减少分析的自由度, 而且各种高阶层合理论及其相应的有 限元法也可以提供较精确的横向变形及应力分析, 但在边界条件的处理及提高精度方面壳单 元有难以克服的困难[ 2] 。目前对于轮胎静态分析已有了较成熟的方法和结果[ 1, 6, 7] , 然而对于滚 动接触问题分析尚缺乏有效分析方法[ 2, 3] , 很少有文献发表。 本文作者根据几种新采用的技术, 考虑轮胎的稳态惯性场, 接地面内的粘着-滑动效应, 用 三维非线性有限元方法分析了轮胎滚动接触问题, 主要内容包括: ( 1) 基于中介构形的滚动轮胎惯性场和控制方程的表述; ( 2) 轮胎滚动接触问题的增量约束处理方法; ( 3) 发展了三维等参元分析轮胎滚动力学性能; ( 4) 非对称有限元方程组的波前解法; ( 5) 轮胎有限元网格的自动划分及优化。 基于本文的方法, 对某轮胎厂生产的轿车用子午胎给出了数值算例, 与已有数据和试验相 比表明本文的方法是可靠有效的。
e = ( E11 E 22 E 33 E23 E31 E 12) T , s = ( S 11 S 22 S33 S23 S 31 S12 ) T
1N
ue =
(
u
11 u
1 2
u13
…u
m1 u
m2 um3
)
T e
,
N
=
2N = ( N 1I N 2I …N mI )
( 6)
图2 初始约束赋值 Fig. 2 Schem at ic of cont act algorit hm by
variab le con st rain t met hod
5 滚动轮胎三维有限元模拟
将轮胎结构用六面体八节点等参元( 五面体等参元作为过渡单元) 模拟。注意到在微分算
子 5 ( ) 中包含形状函数对参考坐标的一次及二次导数, 在等参元的列式中, 必须将其转化成对
bõSn≤0 if X õb+ u= H 切向作用 滑移: f S= f NL S≥f NL 驻定: S≤f N L L: 摩擦系数 2. 3 中介参考构形——移动的 Lagrangian 构形
轮胎是在地面上不断滚动的, 以初始构形为参考构形分析要求必须追踪轮胎的所有的滚
( 13)
及
5N k 5y
=
5N k 5N k 5N k 5y1 5y2 5y3
,
52 N k 5y2
=
52 N k 52N k 52N k 52 N k 52N k 52 N k
5y
2 1
5y
2 2
5y
2 3
5y25y3 5y3 5y1 5y15y2
( 14)
则由
52N k 5Fi 5Fj
=
5 5Fi
自然坐标的导数, 一次导数的转化借助雅可比矩阵很容易实行, 下面导出二次导数的转化公式
设
5N k 5F
=
5N k 5N k 5N k 5F1 5F2 5F3
,
52N k 5F2
=
52N k 52N k 52N k 52N k 52N k 52N k 5F21 5F22 5F23 5F2 5F3 5F3 5F1 5F15F2
3N
其中形状函数上标1、2、3表示其行数, 下标表示对应的节点, 则有
u1
1N
y1
1N
u = u2 = N ue = 2N ue , y = y2 = 2N ye
( 7)
u3
3N
y3
3N
稳态加速度的分量形式为
52u 1
52 u1
52 u1
5u 1
ub1
5y
2 2
5y2 5y3
5y
2 3
5y 3
( 4)
y3
Rsin( wt + H)
ya3
wRcos( wt + H)
y2
稳态变形和运动条件为
5u 5t
=
0
( 5)
将式( 4) 、( 5) 代入式( 3) 即得到消除时间变量的以参考构形为基础的稳态速度场和加速度
场, 从而我们可以对轮胎稳态问题进行拟静态分析。
3 有限元列式
将单元应变、应力、节点位移、形状函数表示如下:
动过程, 在计算量上是不可接受的。为此我们引入轮胎刚体滚动构形作为参考构形( 如图2所 示) , 从而将轮胎的运动分解为刚体滚动和纯变形[ 2, 6] 。基于此, 滚动轮胎的速度场和加速度场
可以表述如下:
xa =
du dt
+
w ×y=
5u 5t
+
5u 5y
5y 5t
+
w ×y
xb =
wr +
w ×w ×y +
2w × Vr =
52u 5t 2
+
5 5y
(
5u 5y
õ
5y 5t
)
5y 5t
+
w×w×y +
2w
×
(
5u 5t
+
5u 5y
õ
5y 5t
)
( 3)
参考构形 y 随时间的变化关系可以表示为
第 4 期
危银涛等: 橡胶复合材料结构非线性有限元分析
83
y1
y1
ya1
0
0
y2 = R cos( wt + H) , w × y = ya2 = - wR sin( wt + H) = w - y3
以比较精确地进行, 带动了轮胎设计理论的发展。本文 中将帘 线-橡胶复 合材料看成 是横观各 向同性弹 性材
料, 材料特性均由试验确定, 橡胶则被认为是各向同性 弹性材料。
2 滚动轮胎结构分析边界值 问题
图1 半钢丝子午胎断面结构及材料 Fig. 1 Sect ion st ruct ure and m at erial s
由点进行位移校核, 如果其落入接触区, 则赋予其增量 约束[ 6, 7] 。将接触点分成两类: 驻定的和滑动的, 如果约
束切反力超过最大摩擦力, 则将驻定接触点释放成滑动 点, 并将摩擦力化成主动力进行计算, 否则保持其粘连。 对整个过程进行迭代直到满足收敛条件, 本文中所用收 敛判据是最大位移判据。
∫ KT = KL + K N + KS + K I , K I = ( QN T5 ( N ) ) dV0 V0
( 12)
矩阵 K L、K N 、KS 的定义见文献[ 6] , 由 KI 的定义, 显然它是非对称的, 从而导致总体切线
刚度矩阵的非对称, 需要特别的求解器。
4 接触问题求解方法
充气载荷 S ij Gj õb= Põb b: 外表面法矢
轮辋约束 X = g g: 轮辋约束函数
X õb+ u≤H
地面作用 bõSn= 0 if X õb+ u≤H on # c H : 地面约束函数
ub =
ub2 ub3
=
w2
y
2 3
52u 2
52y
2 2
52u 3
-
2y2 y3
52 u2 5y2 5y3
53 u3
+
y
2 2
52 u2 52 y23
52 u3
-
y3
5u 2 5y 3
-
5u 3
5y
2 2
5y2 5y3
5y
2 3
5y 3
5u1 5y3
5u2 5y3
-
5u3 5y3
0
0
0
5u 3
5u3
摘 要 用非线性有限元 法对一种典型的橡胶 复合材料结构 —— 轮 胎的力学性能进行了 分析。给 出了轮胎滚动边界值问题的数 学描述和有限元列 式及相应的求解策 略。取旋转刚 体构形为参考构 形, 得到消去时 间变量的 惯性场和控 制方程。用增量约 束方法处理 轮胎滚动 接触问题可 以达到收 敛快、精度高。研究了滚动参数 对轮胎总体和局部 变形和受力的影响。计算结果与 已有数据和试验 相吻合, 对轮胎设计和汽车动力学有指导意义。 关键词 橡胶复合材料, 轮胎, 滚动接触, 约束增量, 非线性 有限元 中图分类号 TB332, O242. 21, V255. 3
( KnT ) - 1 7 n =
(
K
n T
)
-
1( R
-
pn)
( 11)
其中各矩阵定义如下:
84
复 合 材 料 学 报
第 15 卷
0
∫ ∫ p = ( BT S + N T Q5 ( N ) ue) dV0, R = N T Qw 2 y3 -
V0
V0y2ຫໍສະໝຸດ ∫ p0 dV0 +
N Tq0dA0
A0
1 轮胎结构与载荷