石墨烯的应力应变关系
馮式指数生物力学模型(血管，皮肤等） Fung’s Exponetial Law
馮元楨 （Yuan-Cheng.Fung): Founder of Modern Biomechanics
1919年生于江苏，美籍华人，国际知名学者。生 物力学开创者及奠基人，有“生物力学之父”美 誉。现为美国国家科学院院士、美国国家工程院 院士、美国国家医学院院士、中国科学院外籍院 士及台湾中央研究院院士。2000年获美国科学最 高荣誉“美国国家科学奖章”，为获此殊荣首位 生物工程学家；2007年获地位堪比诺贝尔奖的 “拉斯奖”(Russ.Prize)；另有美国“百年大奖”、 美国国家工程院“奠基者奖”、 中国南京大学世 纪校友学术成就金质奖章等。
3. 石墨烯杆元
f 1x AE 1 1 AD | u 2 x u1x f 2 x L 1 1 L2
1 1 u 1x | 1 1 u 2 x
f 1x l2 f 1 y AE lm { f 2 x L l 2 f 2y lm
牛頓 - 拉夫遜 算法示意图 Algorithm for Newton-Raphson method
xi 1 xi f xi
1
f xi , i 1, 2,3...
N-R 计算流程图
牛顿法手算例子(附件）
石墨烯杆架例子
边界条件
Boundary conditions
三、稳态塑性固体结构单元简介（非线性元） 密率轴向杆元 密率欧拉梁元 密率框架元 密率平面元 Power-law Axial Bar Power-law and Euler Beam Power-law and Truss and Frame Powerlaw CST and Bi-linear Elements Piecewise Linear Approximation of Material Properties Other Power-law Models: Hollomon, Ramberg_Osgood，Graphene 钛铝合金船结构设计案例、石墨烯 等,牛頓拉夫遜和共轭梯度法的应用
2. Ramberg_Osgood 杆元
1 u 2 x u1 x ( L ) f 1x n 1 A , ( s ) As B | s | s f 2x 1 ( u 1 x u2 x ) L
f 1x f 1y f 2x f 2y l m 0 0 1 (l (u 2 x u1x ) m(v2 y v1 y )) m l 0 0 0 A 0 0 l m 1 (l (u 1x u2 x ) m(v1 y v2 y )) 0 0 m l 0
2.09465 1.39643 2.09465 1.39643
3.14198 2.09465 3.14198 2.09465
n 1
d du K ( dx dx
2 n 1
n 1
du ) f ( x) 0 dx
2
材料非线加几何非线性方程：
K | |
n 1
d du 1 du K { dx dx 2 dx
du 1 du [ ]} f ( x) 0 dx 2 dx
(a) Local nodes:元节点
For element 1: For element 2: At node 1 At node 2
(b) Global nodes:整体节点
At node 1: At node 3:
单元1材料和几何数据
Between Nodes 1 and 2 A(1) 4.9087 106 m 2 E (1) 1 1012 Pa D (1) 1.92307 1012 Pa L(1) 4 13 m 100 Angle of orientation 33.69
美国海军的未来驾驭于钛钢的强度
Future Naval Force May Sail with the Strength of Titanium
（Story Number: NNS120403-17Release Date: 4/3/2012 10:40:00 PM）
钢材的地位遭到了强劲的竞争对手-钛钢： 美国海军研究办公室（ONR）资助的项目，将完全用钛钢产生一个全尺寸的 船体，采用焊接的创新，可以帮助到未来的海军船舶建造带来钛钢。
分段线性材料
其它密率模型
工程实例
现代工业中常用的非线性弹朔性模型
简单的形式： (1) Hollomon's Power-Law: K | |n 1 , 0 n 1 1 0.002 n 1 (2) Ramburg-Osgood Law: | | , n 2 n E | y | (3) Graphene Quadratic Law: E D | | (4) Fung's Exponential Law: E ( e 1 )
单元1局部矩阵方程
2.35634 1.57089 2.35634 1.57089 1.57089 1.04726 1.57089 1.04726 107 (1) f1x 2.35634 1.57089 2.35634 1.57089 (1) 1.57089 1.04726 1.57089 1.04726 f1 y (1) 3.14198 f2 x 2.09465 f 2(1) y 108 |0.8320(u 2 x u1x ) 0.5547(v2 y v1 y ) | 3.14198 2.09465
Steel may have met its match: An Office of Naval Research (ONR)funded project will produce a full-size ship hull section made entirely with marine grade titanium using a welding innovation that could help bring titanium into future Navy ship construction。 If constructed in titanium, Navy ships would have lighter weight for the same size-allowing for a bigger payload-and virtually no corrosion. But because titanium costs up to nine times more than steel and is technically difficult and expensive to manufacture into marine vessel hulls, it has been avoided by the shipbuilding industry. But perhaps not for much longer. Heating produced by welding causes metal pieces to heat up to a "plastic" condition, but not to melt.
1. Hollomon 密率杆元
1 u 1x f 1x AK n 1 1 n | u 2 x u1x | u 1 1 2 x f 2x L
f 1x l 2 lm l 2 lm u 1x f lm m 2 lm m 2 v 1 y 1 y AK n 1 n | l (u 2 x u1x ) m(v2 y v1 y ) | 2 f 2x L l lm l 2 lm u 2 x 2 2 f 2y lm m lm l v 2 y
（/submit/display.asp?story_id=66264）
杆非线性问题各种静态力平衡方程和有限元方程
力的平衡方程：
d f ( x) 0 dx
du 1 du 大位移应变： dx 2 dx
2
du 平小位移应变： dx
0 0 f 1x f 1x cos sin f f 0 0 1y 1 y sin cos 0 cos sin f 2 x f 2x 0 f f 2y 0 0 sin cos 2 y l cos , m sin
美國杜邦聚酰亞胺VESPEL序列产品 DuPont’s Polyimide Products-Vespel S Line Hollomon 密率曲线 应用范围
The Ramberg_Osgood Law
（钛合金） 应力应变关系
/Stress-strain_curve
非线性有限元简介
首先我们介绍一下单变量一维的简单非线性有限元分析 这部分用我的课本中的第10章还有附件： 牛顿法Matlab程序；牛顿法手算例子
1. 非线性杆元简介
y
y
x

x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 0 u 1x u 1x cos sin v v 0 0 1y 1 y sin cos u 2x 0 u 2 x 0 cos sin v v 2 y 0 0 sin cos 2 y