3.结论： 发生能量不连续的波矢 满足的
k 条件可改写为:
' k
Kn
k
Kn K n (k )0 2

0
Kn
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区边界E(k)函数是间断的，但不同方向 断开时的能量取值不同，因而有可能使能带发生重叠。
紧束缚近似
晶体中的电子在某个原子附近时主要受该原子势场 V ( r R )的作用，其他原 n
2k 2 2m E ( k ) a( 0 ) V ( K n ) a( K n ) 0
2k 2 V ( K n ) a( 0 ) E ( k ) a( K n ) 0 2m
2k 2 E(k ) V ( Kn ) 2m
n
a 2 a 2
ikx
1 a Vn 2a V ( x )e ikxdx a 2
a 2 a 2 i 2π nx a
1 1 ikx Vn V ( x )e dx V ( x )e a a
dx
1 a 。 其中V0 2a V ( x )dx是势能的平均值 a 2
iK m r iK m r V(r ) V ( K m )e V0 ' V ( K m )e km km
1 ik (r ) e r V 0 k 1 ik r e NΩ
2 2 k 0 Ek 2m
0 0
2.声子与声子相互作用：
1 2 3 (1) q1 q 2 q 3 K h ( 2 )
3.晶体的热膨胀现象：

4.晶体的热传导现象：



e u k T d
B

e
u k BT
d
3 g 2 kBT 4c
近似为简谐近似(忽略掉作用力中非线性项的近似)。
f nk
d2u dr 2 x nk nk x nk r0
nk
d2u dr 2 r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。
模型
一维无限长原子链，m，a， n- 2
2.电子有效质量与加速度
2E 2 k x a x a 1 2 E y 2 k y k x az 2E k k z x
2E k x k y 2E k 2 y 2E k z k y
2E k x k z 2E k y k z 2E 2 k z
i k r r e r k uk uk r uk r Rn
布洛赫波函数具有如下特点：
ik Rn (r Rn ) e (r ) ,
bi bi ki ， ( i 1， 2， 3) 2 2
1 CV v 3
高温时:
1 T
低温时:
T3
第五章 总

能带理论 结
布洛赫定理


近自由电子近似
平面波方法 紧束缚近似
晶体中电子的速度、加速度和有效质量 导体、半导体和绝缘体

布洛赫定理
在晶格周期性势场中运动的电子的波函数是按晶格周期调幅的平面波。具有此
形式的波函数称为布洛赫波函数。
长 波 近 似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W b11W b12 E P b21W b22 E
加了恢复力。
(1) ( 2)
---黄昆方程
(1)式代表振动方程，右边第一项 b11W 为准弹性恢复力，第二项表示电场 E 附

9N
3 D
2
爱因斯坦模型
德拜模型
E CV 3 Nk B f E T
e T E E f 2 E T T T e 1
高温时与实验相吻合，低温时以比T3 更快的速度趋于零。
2
(2)式代表极化方程， b21W表示离子位移引起的极化，第二项表示电场 E 附加
了极化。
2.LST关系

2 T0 2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
(1) s , Lo To
(2)铁电软模(光学软模)
静电介电常量
1/ 2
S
n- 1 m a n n+ 1 n+ 2
运动方程
m
..
试探解
m xn x n x n1 x n x n1
xn Ae
色散关系
i t naq
2


m
2
波矢q范围

m
sin
aq 2
B--K条件
波矢q取值
π π q a a
π a
3.波函数和能量
1 ( x ) Ae ， A L
0 k ikx
2k 2 E 2m
0 k
k ( x)
1 ikx e 1 ' 2 L n 2m
2 2
Vne 2π 2 2 k ( k n) a
子的作用视为微扰来处理，以孤立原子的电子态作为零级近似。 1.模型
2.势场
' V at ( r R ) V r V at (r Rn ) m
1 (k , r ) N
Rm

3.波函数
e
Rn
ik Rn
( r Rn )
km
(r ) k
1 i K l r e ik r a ( K )e l NΩ Kl
将 ( r )代入薛定谔方程
k
ˆ H k (r ) E (k ) k (r )得 :
2k 2 2 2 2m ( K n k ) 2m a( K n ) V ( K n )a(0) 0
CV
D 3 NkB f T
3 D T 0
E
D T f 3 T D
e
ex
x
1

4 x dx 2
高低温时均与实验相吻合，且温度越低， 与实验吻合的越好。
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
1 2U 2 1 3U 3 2 3 c g U ( R0 ) U ( R0 ) 2 R 3 2! R 3 ! R R
第三章 晶格振动 总 结

一维晶格振动 三维晶格振动、声子 长波近似 确定晶格振动谱的实验方法 晶体比热 晶体的非简谐效应
一维晶格振动
格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的
相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。
振动很微弱时，势能展式中只保留到(r)2项,3次方以上的高次项均忽略掉的
i 2π nx a
e ikxuk ( x )
Vn k Ek ' 2 2 2π 2 2m n k ( k n) 2m a
2
4.结论: (1)在k=n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带，禁带宽度为 ；
2 Vn
(2)在k=n/a附近，能带底部电子能量与波矢的关系是向上弯曲的抛物线，能带 顶部是向下弯曲的抛物线；
(2)有一支纵波两支横波；
(3)设晶体由N个原子组成,共有3N个频 (3)晶格振动频率在0 ~ 之间(D为德拜频 D 率为的振动。 率)。
D
1 E 3 N k BT 2 1 e
E
0
1 ( )d kBT 2 1 e
三维晶格振动、声子
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N，
格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn，
独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。
N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。 声子：晶格振动的能量量子。能量为
,
准动量为
q。
3nN个振动模式
3nN种声子
3N种声学声子， (3n-3)N种光学声子。
和它相差Kh的波矢来描述)。
电子能带的三种图示法
每个布里渊区中波矢k可取N个值，而能带序号越小，能带宽度越小，故能带
序号越小，能态密度越大。
平面波方法
1.模型： 平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电子近似。 2.势场和波函数：
iK m r V (r ) V ( K m )e
2nM 2 a ..
2n-1 m
2 n
2n+1 2n+2

O
x2 n1 Ae
x2 n Be
2
A
i t 2 naq

π 2a
o
π q 2a
{( m M ) m 2 M 2 2mM cos 2aq } mM
π π q 2a 2a
x 2 n x 2( n N ) ,
at
4.能量表达式：
ik ( Rn Rs ) at E ( k ) E J ss ' e J sn Rn
5.能带宽度：
E Emax Emin
晶体中电子的速度、加速度和有效质量
1.电子运动速度
1 v k k E (k )