例 已知表达式 P(x，g(y)，b)，考察置换:
P(x，g(a)，b) P(a，g(b)，b) P(f(y)，g(a)，b)
{a/y} {a/x，b/y } {f(y)/x，a/y }
一般地，置换可通过有序对的集合 {t1/v1，t2/v2，…，tn/vn}
来表达，其中ti/vi表示变量vi处处以项ti来代替。
例(p46-47) xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y)))
解: (1)消去蕴含词
xP(x)x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2)约束变元改名：
利用改名方法对上式施行改名，以保证每一个量词 约束的变元不同名。 xP(x)z(A(z)y(B(y)W(z，y)))
(3)化为前束范式 xzy(P(x)(A(z)(B(y)W(z，y))))
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
从这些语句出发，证明语句： (4)一些有智慧的个体不能读。x(I(x)R(x))
引例 (p45，提取子句)
对应语句(1)至(3)的子句集为： (1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a) (4) I(a) 其中子句(3)(4)为对(3)式SKOLEM化而得，a为 SKOLEM常量。 要证明的定理的否定式为：
x(I(x)R(x)), 即 x(I(x)R(x)) 化为子句形式为(5)： (5) I(x3)R(x3)
引例 (p45，归结)
(1) R(x1) L(x1) (2) H(x2) L(x2) (3) H(a)
(4) I(a)
(5) I(x3)R(x3) (6) R(a) (7) L(a) (8) H(a) (9) □
A(x1)B(f(x1))，A(x2)W(x2，f(x2))
例 (p47,续)
(2) x(A(x)y(N(y)W(x，y))) = x(A(x)y(N(y) W(x，y))) = x y (A(x) (N(y) W(x，y))) y (A(a) (N(y) W(a，y))) A(a) (N(y) W(a，y))
{a/ x3}(4)(5)归结 {a/ x1}(6)(1)归结 {a/ x2}(7)(2)归结
(8)(3)归结
注意：归结时使用了未讨论过的置换的概念。
4.3.1 置换
——项对变量的替换。 置换准则为：
(1)置换必须处处进行。
(2)要求没有变量被含有同一变量的项来代替。 如表达式P(x,g(x),b)中的x不能用含有x的 项f(x)来置换，即P(f(x),g(f(x)),b)是错误的 置换。
得到子句： A(a), N(y) W(a，y)
例 (p47,续)
要证明的结论为：有些作品不是小说。 x(B(x)N(x))
否定结论得到： x(B(x)N(x)) = x(B(x)N(x)) B(x)N(x)
得到子句： B(x)N(x)
例 (p47, 归结)
(1) A(x1)B(f(x1)) (2) A(x2)W(x2，f(x2)) (3) A(a) (4) N(y)W(a，y) (5) B(x)N(x) (6) A(x1) N(f(x1)) (7) N(f(a)) (8) W(a，f(a)) (9) A(a) (10) 口
(4)消去存在量词(按Skolem标准形) 原式z(P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z)))))
例 (p47)
(5)消去全称量词(直接去掉) 原式 P(a)(A(z)(B(f(z))W(z，f(z))))
(6)利用分配律化为合取范式 原式 P(a)(A(z)B(f(z))) (A(z)W(z，f(z)))
例 (p47, 求子句)
(1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) = x(A(x) y(B(y)W(x，y))) = x y (A(x) (B(y)W(x，y))) x (A(x) (B(f(x))W(x，f(x)))) A(x) (B(f(x))W(x，f(x))) = (A(x) B(f(x))) (A(x) W(x，f(x))) 得到子句：
4.3.2 归结反演系统
一、谓词演算公式子句的形成 二、一般归结 三、归结反演算系统的应用
一、谓词演算公式子句的形成
一般步骤: (1)消去蕴含词和等价词 (2)否定深入 (3)约束变元改名 (4)化为前束范式 (5)消去存在量词(按Skolem标准形) (6)消去全称量词(直接去掉) (7)化为合取范式 (8)消去合取词得子句集， (9)改变变量的名称 (变量符号不重复使用)
4.3 谓词演算的归结推理系统
问题：从公式集S出发，证明目标公式T。
在归结系统中: 首先否定目标公式， 然后将这个公式加到公式集S中， 再将该公式化成子句集， 若能归结成空子句(用□表示)， 则认为证明了该公式T。
引例(p45)
设有语句串及它的符号表示如下： (1)无论谁能读就有知识；x(R(x) L(x)) (2)所有的海豚均没有知识；x(H(x) L(x)) (3)有些海豚有智慧。x(H(x)I(x))
(7)消去合取词得子句集 此时公式中只含有一些文字的析取 P(a), A(z)B(f(z)), A(z)W(z，f(z))
(8)改变变量的名称： 改名使得每个变量符号不出现在一个以上的子句中 P(a), A(z1)B(f(z1)), A(z2)W(z2，f(z2))
二、一般归结
只需寻找一个置换，把它们作用到母体子句上 使它们含有互补的文字对(如P和P) 。
例 (p47)已知知识：
(1)每个作家均写过作品； (2)有些作家没写过小说； 结论：有些作品不是小说。
证明：令 A(e)表示“e为作家”； B(e)表示“e为作品”； N(e)表示“e为小说”； W(e1，e2)表示“e1 写了 e2”
知识可以符号化如下： (1) x(A(x)y(B(y)W(x，y))) (2) x(A(x)y(N(y)W(x，y)))