用放缩法证明不等式的方法与技巧一.常用公式 k(k +1)k(k -1)2. _____________ w ___ £ ________ ____k 2 2 >k (k > 4) k 4. 1 x 2x 3x”…X k >2 (k > 2) 丄凸丄 k ! 2 ( k_1)! b （待学） 二•放缩技巧 (1)所谓放缩的技巧：即欲证 A < B ，欲寻找一个（或多个）中间变量 C ，使A < C < B , 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 若 t 〉0, a+t >"a,a — t ■<a (2) (3)J n —1 V T n, 2亦〉T n + J n -1 , J n +1 _1〉作—1, J n(n ■+1) >7^^ = n 1 1 1 —— --- = -------- n n +1 n(n +1) (4) 2( J n +1- >/n)= 1 1 11,^ <p < --------- = ---- —一(n A 1) n 2n(n -1) n-1 n 2 2 1 < ——(5) (6) (7) U n +1 + v n v n +v n v n v n +j n -1 卄-a a aa +m 右 a, b,m 匸 R 则一 > ----- ,一 < ----b b+m b b 1 “1 + 1 . . 1 n! 2 22 2n」 1 1 1 1 + …c 1 +(1 —一) +(— 一一) n 2 2 3 + 1 3!1 (7) (8)=2(V n - J n -1)J 2! 1 + — + — 22 32 1 1 1--)(因为—< -------------- ) n n (n-1) n 丄+丄+丄1 n +1 n +2 n +3 或丄十丄十丄 n +1 n +2 n +31 +丄+丄+…+丄 …亠丄 2n n +1 ，丄」 2n A 丄+丄+… 需T n +丄 n +1 十丄+ 2n 2n •+丄 T n "丄 n +1 2n —<1 n +1_ n _ 1 —2n — 2 -n= V n 等等。

v n三•常见题型 （一）.先求和再放缩： 1•设 s, =! + 1+ 丄+■- + 2 6 12 n(n+1) 1，求证：Si <11 M2 .设0=— ( n 匸N ),数列｛b n b n^｝的前n 项和为T n ,求证: n(二).先放缩再求和：3 .证明不等式：1+^—+一1——1 1x2 1x2x3----------- <2 1 x2x3x■…X n1 1 4.设S n / +尹+孑+■■■(1)求证：当n >2时，丄n +1<S n <2 ；(2)试探究：当n >2时，是否有5<S^-?说明理由-(n +1)(2 n+1) 3 6n5.设b n _ 1 "2(1) b n 2n —1 求证:6 .设an 求证2nV J2n十厂=n , b n =((2)a n + a n+b l +b2 +b3 十"+b n < J2n+1-1)22E a n + an+ 7n(^1)n * (2)D +b2 + b3 十"+bn W——(n 忘N )n+17.设b n =(n+1)2，a n = n(n +1)，求证：1+ 1+…+a j +0 a2 +b2 a n8 .蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形, 7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第1 1 5<+ b n 12如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有(1)试给出f(4), f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明: --- +---- +----f(1) f(2)+…+1 4--- <—.9 . (10广州) 设S n为数列牯訂的前n项和，对任意的n亡N *，都有S n =(m+1 )—ma n (m为常数，且m^O).(1)求证：数列｛a j是等比数列;(2)设数列{an }的公比q = f (m )，数列fc n >满足 d = Za^b n = f (gj ) (n >2，N* )，求数列{bn} 的通项公式;(3)在满足(2)的条件下，求证：数列｛b n2｝的前n项和T n c89.1810 . （ 010 深圳）在单调递增数列｛a n ｝中，31=1 ,32 =2，且a 2n , a 2n , a 2n 半成等差数列，a 2n , a 2n 甲,32^|2成等比数列，n = 1,2,3「"".1)]T n =b 1b 3 +b 2b 4 +b 3b 5 卡"b n bi *1 1 1 1 132 43 5円厂6)*+(丁忌)] 1 1 + +1X2 1X2X3 <1+1+丄丄=2-丄 <2'2 2?2*4 2“』<1 22 .2n 4n4•解：（1）•••当 n>2时，2< 1n (n -1)n n T n 1 1 1 /. 1 + — + —十"+——' _2 -2 22 3 n 1 1 1 <5—)七-尹•• 2 (2 n T n +1 1 1)]=2———<2n +1n(n +1) n n +1 =1」 n +1 n +1 n +1二当n >2时, n+1V Sn V 2=2((2n —1)(2n+1) 2n-1 2n +1(1) 分别计算a 3, a 5和34, a 6的值;(2) 求数列｛a n ｝的通项公式（将a n 用n 表示）； (3) 设数列｛丄_｝的前n 项和为S n ，证明：S nn +2a n2 .证:bn bb^ =1b n =—n1乙丄- n(n +2) 2 n—-)<3.42 n +1n +23 .证明:10 . （ 010 深圳）在单调递增数列｛a n ｝中，31=1 ,32 =2，且a 2n , a 2n , a 2n 半成等差数列，a 2n , a 2n 甲,32^|2成等比数列，n = 1,2,3「"".1)]十2^+尹一書"扬—少弋-1严+（12n-1 2n+15 23 "2 n+1 5 <3当n >2时,要S n6n 6n > ---------------- 只需—n — >(n +1)(2 n +1) n +1 (n +1)(2 n +1)即需2n +1 >6，显然这在n >3时成立 而 s 2 =1 +14 6n=5,当n >2时 4(n +1)(2 n +1) (2+1)(4+1) 55显然4即当n >2时S n6n> ----------- (n +1)(2 n+1) 也成立 综上所述：当 n >2时，有6n cSn <2. (n +1)(2 n+1) 3 5 .证法一: 2 2 2 2 2•- 4n -1<4n , •- (2n -1)(2n+1)<4n = (2n-1) (2n+1)<4n (2n -1).2n —1 2n J 2n —1 < J 2n +厂 2n —1 2n 怎亦…J 2n -1 亦 x/7 j 2n +1 J 2n +1 10分证法二: 2n -1 2n -1----< 2n 证法三: J (2 n)2 -1 J2n 日，下同证法一 J 2n +110分（利用对偶式）设A=12 5, 6 1 2 2 则 AiB n = ----------.又 4n 2 —1 c 4n 2，也即 2n2n —1 2n 2n+1又因为 A n 2n +1 2n 2n < ----2n +1 所以 21A ^Bn ，也即 An "nBn=2^>0，所以A n J 2n +1 .即5 p^—6 2n —1 2n V j 2n +1 ■ 10分证法四：（数学归纳法） X 1L ，命题成立； 43②假设n = k 时，命题成立，即1 - 2 45 Ir^—62k —1 1 ---- < 2k1 3 则当n =k +1时，-F —2 45…2k -16 2k 中1 2k+12k 2(k +1)J 2k +1 2(k+1)如中12(k +2)111分-12<0(k + 1)(2k +3)2(k +2)k +1 < ----k +2 k +1 二 d +b 2 +…+bk +k 中1 (k +1) +12k +11 (2k+1)(2k +3)-4(k +1)2—— = 24(k +1) 2k +34(2k +3)(k +1)(4k 2 +8k +3) -(4k 2 +8k +4)2丈 0=2=4(2 k +3)(k +1) 4(2k +3)(k +1)亠即込1.亠2k +3 2k +2 J 2k +32k -1 2k +1 ” 1 2k 2(k+1) T k +3故当n =k +1时，命题成立. 综上可知，对一切非零自然数n ，不等式②成立.②由于 ”， a J 「 一 < J 2k +1 - J 2k -1， 72k +1 J 2k +1 +J 2k -11所以b k 吒jJ 2k +16.证明：（法一）k +1 k +22 2 2= k(k +2)(2k +3) +4(k +1)(k +2) —(k +1) (2k +3) — 2(k +1)(2k +3) (k +2)2 2 2(2k +3) [k(k +2) —(k +1) ]+4(k +3k +2)(k +1)(2k +3)2(k +2) -12k +1 4(k +1)210分< J 2k +1 - J 2k -1， 从而b , + b 2屮"b n 也即b i + b 2屮"b nc (73—1 )+(75-两 +…+(J 2n +1 - J 2n -1) = 丁2 n +1-1. c J 2an +11 ,,,,,,14分a n +a n 十2anan +)2 < 1n(n +1)' 2 1an中 an +J a * £n 即b n <——1—— ... n(n +1) J n(n +1)"1+b 2+b 3-+bn <1.2L+丄 2 ”3 +…n(n +1) =1丄12丄…丄丄 2 3 n n +1=1-丄 n 中1 12分（法二）（1） 当n =1时,右=0=(n +1£右=19-，显然成立,,,,2 （2）假设n =k 时,kV (急)2即当n = k +1时，不等式成立，由(1)(2)可得原不等成立。