函数的对称性应用（一）
──含绝对值函数的图象
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军
在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。

图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。

函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。

本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。

一、含绝对值的函数常见情况的分类：
已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。

①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：；
③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：；
⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。

二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法：
①对自变量取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。

因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。

【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象
②对应变量取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于
轴对称。

因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。

【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留时函数的图象；
（3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象
③对全都取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。

因为点、、
与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。

【作图步骤：】
（1）作出函数的图象；
（2）保留（第一象限）时函数的图象；
（3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象
④对整个函数取绝对值：；
【特征分析：】
已知函数，当时；当时。

函数的图象在时不变，在时图象关于轴对称。

【作图步骤：】
（1）做出的图象；
（2）保留的函数图象（轴上方图象）不变；
（3）当时，利用对称性作出轴下方图象关于轴对称后的图象。

【作图展示：】作函数的图象
⑤对都取绝对值：
【特征分析：】
已知函数，由于该函数既对自变量取了绝对值，又对应变量取了绝对
值，因此可看做是前两种情况的逐步复合，若令（偶函数），则。

【作图步骤：】
（1）利用的方法步骤作出函数的图象；
（2）利用的方法步骤作出函数的图象。

【作图展示：】作函数的图象
⑥部分自变量取绝对值：。

【特征分析：】已知函数
，这种类型的函数没有统一的特点，必须
先利用绝对值的意义去掉绝对值，然后再利用相应的方法作出函数的图象。

对称性应用（二）
内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军
在高中阶段，函数是数学的主干知识和重要内容，图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。

函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。

本文针对“对称”这个函数的基本性质，利用函数自身的对称和不同函数之间的对称来探讨其对作函数图象的巨大帮助。

（1）一个函数图象自身关于点对称：
①函数关于点对称；
②函数关于原点
对称
；
③函数关于轴上的点对称；
④函数
关于
轴上的点
对称。

（2）两个不同函数图象关于点对称： ①函数与函数关于任意点对称；
②函数与函数关于原点
对称；
③函数与函数关于轴上的点对称； ④函数
与函数
关于
轴上的点
对称。

以上分类，无论函数图象自身关于点对称还是不同函数图象之间关于点对称，若是不结合函数的其它性质，则对用数形结合解决函数图象问题没有多大帮助。

因此，在此只列出分类而不加以更多应用的阐明。

（3）一个函数图象自身关于直线对称：
①函数关于直线对称；
②函数
关于
（
轴）对称。

（4）两个不同函数图象关于直线对称：
①函数与函数关于直线对称；
特例：函数与函数关于直线对称；
②函数与函数关于直线对称；
特例：函数与函数关于直线对称（互为反函数）；
③函数与函数关于直线对称。

【例题：】若函数，尝试作出函数的图象。

【解析：】由函数的对称性知道函数与函数关于直线对称，首先，我们作出函数的图象：
然后，利用图像关于直线对称作出函数图象（红线）：
最后，得函数图象为：
不用求新函数的解析式，直接利用对称性解题，会给许多函数问题的解决带来极大的方便。