一次函数的对称性专题
1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ）
A ．关于直线y x =-对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y x =对称
【答案】B
2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x =
+的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________；
②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________．
【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a
=+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________．
【答案】53y x =--；2y x =+
5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式．
【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-．
6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ． 【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11k b =-⎧⎨=-⎩
．
7．已知某一次函数的图象如图所示．
（1）求这个一次函数的解析式．
（2）请直接写出该直线关于y轴对称的直线解析式．【答案】解：（1）设一次函数的解析式为：y kx b
=+，据图可知：直线经过(0,3)和(2,0)两点
∴
30
02
b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，
解之得：
3
3
2
b
k
=
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
∴一次函数的解析式为：
3
3
2
y x
=-+；
（2）该直线关于y轴对称的直线解析式为：
3
3
2
y x
=+．
8．因为一次函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象关于y 轴对称，所以我们定义：函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠互为“镜子”函数．
（1）请直接写出函数32y x =-的“镜子”函数： ；
（2）如果一对“镜子”函数y kx b =+与(0)y kx b k =-+≠的图象交于点A ，且与x 轴交于B 、C 两点，如图所示，若ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且它的面积是16，求这对“镜子”函数的解析式．
【答案】解：（1）根据题意可得：函数32y x =-的“镜子”函数：32y x =--； 故答案为：32y x =--；
（2）ABC ∆是等腰直角三角形，AO BC ⊥，
AO BO CO ∴==，
∴设AO BO CO x ===，根据题意可得：12162
x x ⨯=， 解得：4x =，
则(4,0)B -，(4,0)C ，(0,4)A ，
将B ，A 分别代入y kx b =+得：
404k b b -+=⎧⎨=⎩
， 解得：14k b =⎧⎨=⎩
， 故其函数解析式为：4y x =+，
故其“镜子”函数为：4y x =-+．
9．如图，一次函数33y x =-+的函数图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB
为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒；
（1）如果点3P m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，在第二象限内，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值；
（2）如果QAB △是等腰三角形并且点Q 在坐标轴上，请求出点Q 所有可能的坐标；
（3）是否存在实数a ，b 使一次函数33y x =-+和y ax b =+的图象关于直线y x =对称？
若存在，求出ab a b
+的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图，过点P 作PD x ⊥轴于D ， 点3(,
)P m 在第二象限内， 3PD ∴=，OD m =-， 令0y =，则330x -+=，
解得1x =，
令0x =，则3y =，
∴点(1,0)A ，(0,3)B ，
1OA ∴=，3OB =，
由勾股定理得，22221(3)2AB OA OB =+=+=， 30ABO ∴∠=︒，
AOB PDO AOPB PDOB S S S S ∆∆=+-四边形梯形，
111
)1()222m m =⨯-+⨯⨯-
=+，
∴四边形AOPB 的面积=； APB AOP AOPB S S S ∆∆=-四边形，
112=-⨯，
=+， 30ABC ∠=︒，
tan302AC AB ∴=︒=
122ABC S ∆∴=⨯=， APB ∆与ABC ∆面积相等，
=， 解得56m =-， 故，当APB ∆与ABC ∆面积相等时，56
m =-；
（2）①点A 是顶角顶点，AB 是腰时，2AQ AB ==， 若点Q 在x 正半轴，则123OQ AO AQ =+=+=， 若点Q 在x 轴负半轴，则211OQ AQ AO =-=-=，
若点Q 在y 轴负半轴，则OQ BO ==
∴点Q 的坐标为(3,0)或(1,0)-或(0,， ②点B 是顶角顶点，AB 是腰时，2BQ AB ==，
若点Q 在y 轴正半轴，则2OQ BO BQ =+=，
若点Q 在y 轴负半轴，则2OQ BQ BO =-= 若点Q 在x 轴负半轴，则1OQ AO ==，
∴点Q 的坐标为2)或2)或(1,0)-；
③AB是底边时，若点Q在y
轴上，则tan301
OQ OA
=︒==，
若点Q在x轴上，则1
OQ AO
==，
∴点Q
的坐标为或(1,0)
-，
综上所述，QAB
∆是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为(3,0)或(1,0)
-
或(0,
或2)
或2)
或；
（3）(1,0)
A关于y x
=的对称点为(0,1)，
B关于y x
=
的对称点为0)，
∴
1
b
b
=
⎧⎪
+=
，
解得
1
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴
1
ab
a b
==
+
，
=
=
=．。