函数周期性与对称性的函数方程
【问题提出】
问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f +=
；
（2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）)
(1
)(a x f x f +±
=.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -=
+；
（2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】
探究1：设()b a ,为函数)
(x f y =的对称中心，则必有等式
________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________
探究2：已知奇函数
)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时，
,2)(x x f =
则______)9(=-f
变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则
=+)9()8(f f _____
1
变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1
)2(x f x f -
=+，当
32<<x 时，1)(+=x x f ，则_______)5.0(=-f 变式3：设
)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,1
2
,
11,1)(x x bx x ax x f 其中R b a ∈,，若)2
3
()21(f f =，则b a 3+的值为________. -10 变式4：已知定义在R 上的函数)2
3()(+-=x f x f ，且2)0(,1)1()2(=-=-=-f f f ，
则
.________)2014()2013()3()2()1(=+++++f f f f f Λ
变式5：已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)
(1
)2(x f x f =
+，若5)1(-=f ，则.______))5((=f f
探究3：定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0
),2()1(,
0),2(log )(2x x f x f x x x f ，则)
2013(f 的值为_______. -1
变式：定义在
R
上的函数
)
(x f 满足
⎩⎨
⎧>---≤=-.
0),2()1(,0,3)(1x x f x f x x f x ，则
=)2014(f ______.
9
2-
探究4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点
个数为_________.
变式1：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意的R x ∈，都有
)()2(x f x f =+，当10≤≤x 时，2)(x x f =.
若直线a x y +=与函数)(x f y =的图象
在[]2,0内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值为________.
变式2：已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]
上是增函数若
方程f (x )＝m (m >0)在区间[]8,8-上有四个不同的根
1234
,,,x x x x ,则
1234x x x x +++=
. -8
变式
4：已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，
，
． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]
510-，内公共点的个数为____．15 变式5：已知
)
(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当
)
3,0[∈x 时,|2
12|)(2+-=x x x f .若函数
a x f y -=)(在区间]4,3[-上有
10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是
_________.
【解法探究】作出函数的简图，由图象分析可得10,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
探究5：已知函数
,3
),3(3,31,21)(⎪⎩
⎪⎨⎧>≤≤--=x x
f x x x f 将集合{}10,)(<<==t t x f x A （t 为常数）中的元素由小到大排列，则前6个元素的和为________. 52 变式：已知函数
21,0,
()(1),0.
x x f x f x x -⎧-≤=⎨
->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____________
拓展1：设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区
间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1， x 2，x 3，使得31
21
23
()
()()f x f x f x x x x =
=
=t ，则实数t 的取值范围为 ．
解：当x ∈[3,9)时，f (x )=1()3
f x =1ln ln ln33
x x =-．
设直线y =tx 与曲线f (x )=ln ln3x -相切于(x 0，f (x 0))，则 t =0
0ln ln 3
x
x -=0()f x '=0
1x ，解得x 0=3e ，于是t 1=13e
．
另一方面，x ∈[3,9)时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t 2=ln 39
．
作出示意图可知，t 介于t 1与t 2之间．
拓展2：已知*,R y x ∈，函数
)()1(x f x f -=，)2()2
(x f x f -=，若[]2,1∈x 时，)2)(1()(--=x x x f ，则函数4
1
)(+=x f y 在区间[]100,1内的零点个数为_______.
4
探究6：设)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个函数，21,x x 是任意两个实数. （1）若
)()()()(2121x g x g x f x f +≥+恒成立，且)(x f 是奇函数，判断函数)
(x g 的奇偶性并说明理由；
（2）若[][])()()()()(21221221x x x g x g x f x f ≠->-恒成立，且)(x f 是R 上的增函数，判断函数)()()(x g x f x F +=
和)()()(x g x f x G -=的增减性并说明理由；
（3）若
)()()()(2121x g x g x f x f +≥-恒成立，且)(x f 是偶函数，判断函数)
(x g 的奇偶性并说明理由；
（4）若[][]221221)()()()(x g x g x f x f -≥-恒成立，且)(x f 是周期函数，判断函数
)(x g 的周期性并说明理由.
变式1：已知函数
)
(x f 满足
4
1)1(=
f ，
)
()()()(4y x f y x f y f x f -+=，则
.
_____)2010(=f 2
1 变式2：（2020年）已知函数)(x f 是定义在实数R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有
)()1()1(x f x x xf +=+，则)2
5
(f 的值为______.0。