【解析】 根据开普勒第三定律，Ta32＝恒量，当圆轨道的半径 R 与 椭圆轨道的半长轴 a 相等时，两卫星的周期相等，故选项 A 错误；卫星 沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动 能定理，知动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加， 速率增大，且两者具有对称性，故选项 B 正确；所有同步卫星的运行周 期相等，根据 GMr2m＝m(2Tπ)2r 知，同步卫星轨道的半径 r 一定，故选项 C 错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的 轨道平面过某一地点，轨道必过地心，但轨道不一定重合，故北京上空 的两颗卫星的轨道可以不重合，选项 D 错误．
表面上所受重力应是在地球表面上所受重力的 8 倍，选项 C 错误；第一宇宙速度
v＝ GRM，因此，该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的 2 倍，选
项 D 正确．
【答案】 D
1．(2012·石家庄模拟)当卫星绕地球运动的轨道半径为 R 时，线速度 为 v，周期为 T.下列变换符合物理规律的是( )
2．计算时应注意的问题 (1)由于环绕天体的质量m被约分，因此不能求出它的质量和密 度． (2)环绕天体的轨道半径r等于中心天体的半径R加上环绕天体离 中心天体表面的高度h，即r＝R＋h. (3)当环绕天体在中心天体表面绕行时，轨道半径r＝R.
(2012·北京四中模拟)已知下列数据： (1)地面附近物体的重力加速度g； (2)地球半径R； (3)月球与地球的两球心间的距离r； (4)卫星环绕地球运动的第一宇宙速度v1； (5)月球绕地球运动的周期T1； (6)地球绕太阳运动的周期T2； (7)万有引力常量G. 试选取适当的数据估算地球的质量．(要求给出三种方法)
2．对航天器的变轨问题，要抓住其在确定轨道上运行时机械能守恒， 在不同轨道上运行时其机械能不同，轨道半径越大机械能越大．
3．航天器经过同一点的加速度大小如何变化，可根据所受万有引力 的大小来确定．
近期我国发射了一颗“北斗”二代卫星，假设发射过程要经
过两次变轨，从如图 2－2－2 所示的近地轨道 1 经椭圆转移轨道 2 到达工 作轨道 3，P、Q 两点均可近似认为是两圆弧的切点(r3＞r2＞r1，其中 r1 为 圆轨道 1 的半径，r2 为椭圆轨道 2 的半长轴，r3 为圆轨道 3 的半径)，则下 列关于卫星有关量的推理及结论正确的是( )
A．由 GMr2m＝ma 可知在切点 P 处，卫 星在 1、2 轨道上的加速度 a 相同
B．由 a＝vr2且在 P 点 r2＞r1 及 v2＜v1， 故加速度 a1＞a2
C．由 a＝vr2推出 v＝ ar，且在 Q 点 a3＝a2 及 r3＝r2，故 v3＝ v2 D．由 GMr2m＝mvr2且在 Q 点有 r3＞r2，故 v3＜v2
零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
A．1－Rd
B．1＋Rd
C.R－R d2
D.R－R d2
【解析】 设地球的密度为 ρ，地球的质量为 M，根据万有引力定 律可知，地球表面的重力加速度 g＝GRM2 .地球质量可表示为 M＝34πR3ρ. 因质量分布均匀的球壳对球壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d) 为半径的地球的质量为 M′＝43π(R－d)3ρ，解得 M′＝R－R d3M，则矿 井底部处的重力加速度 g′＝GR－M′d2， 则矿井底部处的重力加速度和地 球表面的重力加速度之比为gg′＝1－Rd，选项 A 正确．
第2讲 万有引力与航天
1.估算中心天体的质量和密度的常见思路 (1)利用中心天体表面的重力加速度g和天体半径R，质量为m的物体 在天体表面受到的重力近似等于万有引力，即GMRm2 ＝mg可得天体质量M ＝gGR2，进而求得ρ＝MV ＝34πMR3＝4π3GgR. (2)利用环绕天体的轨道半径r、周期T，GMr2m＝m4Tπ22r即M＝4GπT2r23. 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径r＝R，则 ρ＝43πMR3＝G3Tπ2.
【答案】 A
1.人造卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系 做匀速圆周运动的卫星所受的万有引力完全提供所需向心力，即 F 引 ＝F 向， 即 GMr2m＝mvr2＝mrω2＝m4Tπ22r＝man，可推导出：
v＝
GM r
ω＝ T＝2π
GM
v减小
r3 r3
⇒当
r
增大时ωT增减大小
GM
an减小
量为 M，半径为 R，由牛顿第二定律可得 GRM＋mh2＝m(R＋h)(2Tπ)2，解得 T＝2π(R
＋h)
RG＋Mh，由于不知道该外星球的同步卫星的高度和地球同步卫星的高度之
间的大小关系，所以不能确定该外星球的同步卫星周期和地球同步卫星周期之间
的关系，选项 A 错误；设外星球的人造卫星的环绕速度为 v，则 GMr2m＝mvr2，解
GRM＋mh2＝m(R＋h)(2Tπ)2， 其中 T＝nt ， 解得 M＝4π2n2GRt2＋h3， 又因土星体积 V＝34πR3， 所以 ρ＝MV ＝3πnG2tR2R＋3 h3，故 D 正确．
【答案】 D
3．(2012·新课标全国高考)假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的
球体．一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为
【解析】 探测器变轨后轨道半径变大，根据 GMr2m＝ma 可知其加 速度变小，选项 A 错误；探测器变轨过程中要在远地点向运动后方喷气， 使其动能增加，选项 B 错误、C 正确；由于探测器变轨后轨道半径变大， 可知其周期变大，选项 D 错误．
【解析】 根据牛顿第二定律，卫星的加速度取决于其受到的万有 引力，由 GMr2m＝ma 知，在 P 点 a1＝a2，在 Q 点 a2＝a3，A 项正确；GMr2m ＝mvr2是物体做圆周运动的条件，只适用于圆周运动，故 D 项错误；在 P 点由近地圆轨道 1 变轨到椭圆轨道 2 必须加速，即 v2＞v1，所以 B 项中 “v2＜v1”的假设错误，B 项错误；C 项中椭圆轨道 2 在 Q 点的半径应是 椭圆轨道在 Q 点的一小段圆弧的半径，r3＞r2，由椭圆轨道 2 变轨到轨道 3 需加速，则 v3＞v2，C 错误．
【解析】 行星做圆周运动的向心力由万有引力提供：GMr2m＝ mr(2Tπ)2，v＝r(2Tπ)，其中M为被该行星环绕的恒星的质量，v为该行星的 线速度，T为该行星的运动周期，故C、D正确．
【答案】 CD
2.如图 2－2－1 所示，是美国的“卡西尼”号探测器经过长达 7 年 的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道，若“卡西尼”号探测器在半 径为 R 的土星上空离土星表面高 h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕 n 周 飞行时间为 t，已知引力常量为 G，则下列关于土星质量 M 和平均密度 ρ 的表达式正确的是( )
得 v＝ GrM，因外星球质量是地球质量的 2 倍，所以绕该外星球的人造卫星的 运行速度大于以相同轨道半径绕地球的人造卫星的运行速度，选项 B 错误；物体
在外星球表面上所受的重力等于外星球对它的万有引力大小，即 mg＝GMRm2 ，因
外星球质量是地球质量的 2 倍，半径是地球半径的一半，因此某物体在该外星球
【解析】 同步卫星的周期为 24 h，根据角速度 ω＝2Tπ可知，同步卫
星的角速度小，A 项错误；根据GMr2m＝mvr2＝mr(2Tπ)2＝ma 向得 T＝
4GπM2r3，v＝
GrM，a 向＝GrM2 ，因同步卫星的周期 24 小时大于 GPS 导
航系统的周期 12 小时，所以同步卫星的轨道半径大，线速度小，向心加
【答案】 B
3．(2012·洛阳模拟)我国正在建立的北斗导航系统建成后，将有 助于减少我国对GPS导航系统的依赖．北斗导航系统中有几颗卫星 是地球同步卫星，GPS导航系统是由周期约为12 h的卫星群组成．则 北斗导航系统中的同步卫星与GPS导航卫星相比( )
A．同步卫星的角速度大 B．同步卫星的轨道半径大 C．同步卫星的线速度大 D．同步卫星的向心加速度大
【答案】 见解析
1．(2012·青岛模拟)美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现 了太阳系外第一颗类似地球的、能适合居住的行星——“开普勒22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周．若万有 引力常量已知，下列选项中的信息能求出该行星的轨道半径的是 ()
A．该行星表面的重力加速度 B．该行星的密度 C．该行星的线速度 D．被该行星环绕的恒星的质量
速度小，B 项正确，C、D 项错误．
【答案】 B
1.提供天体做圆周运动的向心力是该天体受到的万有引力，F 供＝ GMr2m，天体做圆周运动需要的向心力是 F 需＝mvr2.当 F 供＝F 需时，天体在 圆轨道上正常运行；当 F 供＞F 需时，天体做近心运动；当 F 供＜F 需时，天 体做离心运动．
正确；同理，RT23＝R64′T23，R′＝4R，选项 B 正确；由万有引力公式和向
心力公式可得：GMRm2 ＝mRv2，v＝
GMR ，即vv′＝
2RR，v′＝ 22v，
选项 C 错误；同理，vv/2＝ RR′，R′＝4R，由圆周运动周期公式可得：
T＝2πvR，TT′＝Rv′′×Rv＝8，T′＝8T，选项 D 错误．
【答案】 AB
2．(2012·北京高考)关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是 ()
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的 周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的 速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能 不同
D．沿不同会 重合
【答案】 A
1．(2012·孝感模拟)“嫦娥一号”探月器发射时在绕地球运行中， 进行了四次变轨，其中有一次变轨是提高近地点的高度，使之从距 地200 km上升到距地600 km，这样既提高了探测器飞行高度，又减 慢了探测器经过近地点的速度，于是增长了测控时间，关于这次变 轨下列说法正确的是( )