凹凸函数之切线放缩
很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成b kx x g +≥)(，或b kx x g +≤)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。

这里特例举几个题目来谈谈它的应用吧。

例1、()[]2
3,0,31x f x x x
+=
∈+，已知数列{}n a 满足03,n a n N *
<≤∈，且满足122010670a a a ++
+=，则122010()()()f a f a f a +++( )
A . 最大值6030
B . 最大值6027
C 有最小值6027.
D . 有最小值6030
解析：A ．
1()33f =，当1220101
3a a a ====时，122010()()()f a f a f a +++=6030 对于函数2
3()(03)1x f x x x +=≤≤+,19()316k f '==-,在13x =处的切线方程为即3
(11)10y x =-， 则()2
2331(11)(3)()01103
x f x x x x x +=≤-⇔--≤+成立，
所以当03,n a n N *
<≤∈时，有()3(113)10
n n f a a ≤-
122010()()()f a f a f a +++[]1220103
1120103()603010
a a a ≤⨯-+++=
例2、已知函数2
901x
f x a ax =
>+()() ． （1）求f x ()在1
2
2[,]上的最大值；
（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；
（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式
1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．
解析：（1）222222
9[1(1)2]9(1)
()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，
令()0f x '=，解得x a =±
（负值舍去），由122a <
<，解得1
44a <<． （ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．
（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1
[,2]2上的最大值为118()24f a =+．
（ⅲ）当1
44
a <<时，在12x <<时，()0f x '>2x <<时，()0f x '<，
∴()f x 在1
[,2]2
上的最大值为=2f a a ）．
（2）设切点为(,())t f t ，则()1,
()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩ 由()1f t '=-，有2
22
9[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， …① 由()2f t t a =-+，有
2
921t
a t at
=-+，…② 由①、②解得2a =
或4a =．
（3）当2a =时，2
9()12x
f x x
=+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线， (2)2f =，
∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在线4y x =-下方． 下面给出证明：当1
[,2]2
x ∈时，()4f x x ≤-．
3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++2
2
21(2)
12x x x
--=+（）， 当1
[,2]2
x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．
∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++，
121414x x x +++=，
1214()()()561442f x f x f x ∴++
+≤-=．
∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ++
+≤恒成立，必须42λ≥．
又
当12141x x x ==
==时，满足条件121414x x x ++
+=，
且1214()()()42f x f x f x ++
+=，因此，λ的最小值为42．
例3、若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
1i i x ==∑，则
2111x ++2211x ++2311x +≤27
10
证明：设g(x)= 2
1
1x +,则g ´(x)= 222(1)x x -+，g ´´(x)= 2232(31)(1)x x -+，
由g ´´(x)＜0得
＜x
g ´´(x)＞0得x
x ＜
∵g(x)在R 上连续，故g(x)= 2
1
1x +在［
］上是上凸的，在区间(-∞，
)，
(+∞)上是下凸的。

由3
1
1i i x ==∑，则平衡值x 0= 13，由导数知识易求得g(x) = 2
11x +在 x=
13处的切线为y=2750（2-x ）,因x 0= 13∈［
- 3
，3］，g(x) = 2
11x
+在［
- 3
，3］上是上凸的，故g(x) = 211x +≤2750（2-x ）恒成立。

即2111x +≤2750（2-x 1）
，2211x +≤27
50
（2-x 2），2311x +≤2750（2-x 3），三式相加并结合3
11i i x ==∑即得2111x ++2211x ++2
3
11x +≤27
10。

若将该题条件改为：若)3,2,1(,0=>i x i ，且3
1
3i
i x
==∑时，解法同理。

此时平衡值x 0=1，而g(x) =
211x +在x= 1处的切线为y=-1
2
x+1, 因x 0= 1∈
+∞)，g(x) = 211x +在
，+∞)上是下凸的，故g(x) = 211x +≥- 12x+1恒成立。

即2111x +≥- 12
x 1+1，
2211x +≥- 12x 2+1，2311x +≥- 12x 3+1三式相加并结合3
13i i x ==∑即得2111x ++2211x ++2
311x +≥3
2。

即得一个新的不等式：若x i
，且3
13i i x ==∑，则2111x ++2211x ++2
3
11x +≥3
2。

所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。

例4、若实数c b a ,,，证明：2
3
≥+++++b a c c a b c b a 。

提示：不妨设1=++c b a ，则平衡点是31=
x 。

x x x f -=1)(在31=x 的切线4
19-=x y ，有 4
1
9)(-≥
x x f 。

5、若z y x ,,非负，且12
2
2
=++z y x ，证明：43
1112
22≤+++++z
z y y x x 提示：平衡点是33=x 。

2
1)(x
x
x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f
练习1：已知函数)2()
20()
2(11)(2>≤≤⎪⎩⎪
⎨⎧++=x x f x x x f ，
⑴求函数)(x f 在定义域上的单调区间。

⑵若关于x 的方程0)(=-a x f 恰有两个不等的实根，求实数a 的范围；
⑶已知实数]1,0[,21∈x x ，121=+x x ，若不等式)ln()()(21p x x x f x f --≤在),(+∞∈p x 上恒成立，求实数p 的最小值。

（可以利用切线求)()(21x f x f 的最大值）
练习2：若z y x ,,非负，且12
22=++z y x ，证明：4
3111222≤+++++z z y y x x
提示：平衡点是33=
x 。

2
1)(x x
x f +=在33=x 的切线12321+=x y ，有12321)(+≤x x f。