《高中数学必修1》函数核心知识精要一．函数的核心概念 ◆函数的概念定义1：在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。

定义2：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，A x ∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域。

【概念中的思想】对于数学概念“顺说”是判定定理，“逆说”是性质定理。

【判定定理】设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的数)(x f 和它对应，那么关系式)(x f y =是函数。

【例题】关系式：①x y =，②x y =2，③⎩⎨⎧≤≥=0,10,2x x y ，④x x y -⋅-=12中，可以作为以x 为自变量，y 为因变量的函数解析式的是 。

（填写序号即可）【答案】①【解析】①最简单的一次函数；②当1=x 时，1±=y ，这与函数概念中“存在唯一y 值”相矛盾；③当0=x 时，1=y 或2=y ，这与函数概念中“存在唯一y 值”相矛盾；④能使式子有意义的x 值不存在，与函数概念中定义域是非空数集相矛盾。

【例题】下列四个图象中，不是函数图象的是（）【答案】（B ）【性质定理】若关系式)(x f y =是函数，则自变量x 的可取值范围（定义域），函数值y 的范围（值域）必非空；对于定义域中的任意x 必存在唯一一个函数值y 与之对应。

【例题】函数()ln(3)f x x =-的定义域为（）（A ）[1,3)-（B ）(1,3)-（C ）[1,3]-（D ）(1,3]- 【答案】（A ）【例题】函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1x x x y 的值域为 。

【答案】R 【解析】已知xy 1=（0≠x ）的值域为}0|{≠y y ，而0)0(=f ，结合两者可知)(x f 的值域为R 。

【例题】函数312-+=x x y 的定义域是 ，值域是 。

【解析】定义域是),3()3,(+∞-∞ ； 把原式变形为y 37)3(2-+-=x x 372-+=x ，故值域为),2()2,(+∞-∞ 。

【例题】函数xx f 21)(+=，]2,1[-∈x 的最大值为（） （A ）23（B ）2（C ）5（D ）9 【答案】（C ）【解析】)(x f 在区间]2,1[-上是单调增函数，故)(x f 的最大值为)2(f ，即5。

◆函数三要素：定义域、对应关系和值域。

相等函数（又可成为相同函数）：通常我们把“定义域、对应关系和值域”三相同的函数称为相等函数；事实上，通常“定义域和对应法则（变化后）”两相同，就可判断两个函数是否是相等函数。

【问题】下列各组函数表示同一函数的是（） （A ）2)(x x f =，2)()(x x g =（B ）1)(=x f ，0)(x x g =（C ）⎩⎨⎧<-≥=0,0,)(x x x x x f ，||)(t t g =（D ）1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g【答案】（C ）【解析】由于（A ）、（B ）、（D ）中两函数定义域不同，不表示同一函数，故应选（C ）。

◆函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

◆映射的概念：设A 、B 是非空集合，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素)(x f 和它对应，那么就称f ：B A →为从集合A 到集合B 的一个映射。

说明：映射是函数概念的推广，映射针对一般集合，而函数只针对数集。

【例题】设集合{}b a A ,=，{}1,1-=B ，则从A 到B 的映射个数为（）（A ）1（B ）2（C ）4（D ）8 【答案】（C ）【解析】根据映射的概念，只需使A 中的每一个元素在B 中有唯一元素与之对应即可，共有4个，如下：【例题】设集合{}b a A ,=，{}1,0,1-=B ，从A 到B 的映射f 满足0)()(=+b f a f ，那么这样的映射f 有 个。

【答案】3【解析】因为0)()(=+b f a f ，所以有两种情况：000=+或0)1(1=-+； 当0)()(=+b f a f 时，只有一个映射；当)(a f 、)(b f 中有一个为1，而另一个为1-时，有2个映射； 故共计3个映射。

二．函数的核心性质 ◆函数的单调性定义：设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区域D 上的任意两个自变量1x 、2x ，①当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数。

②当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数。

【判定定理】设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区域D ， ①若1x 、2x D ∈且21x x <，)()(21x f x f <，则)(x f 在区间D 上单调递增；②若1x 、2x D ∈且21x x <，)()(21x f x f >，则)(x f 在区间D 上单调递减。

【性质定理】设函数)(x f 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区域D ， ①若)(x f 在区间D 上单调递增，)()(21x f x f <，则1x 、2x D ∈且21x x <； ②若)(x f 在区间D 上单调递减，)()(21x f x f >，则1x 、2x D ∈且21x x <。

【例题】已知函数2221)(1+-=+x xx f 。

（1）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明； （2）若)1()1(2-<-a f a f ，求实数a 的取值范围。

【解析】（1）观察函数2221)(1+-=+x xx f 知，)(x f 是R 上的减函数，下面给出证明：设+∞<<<∞-21x x ，则)()(21x f x f -22212221112211+--+-=++x x x x)22)(22(2222222211111!112122111212+++-+---+=++++++++++x x x x x x x x x x )22)(22(22221111!1212112+++--=++++++x x x x x x )22)(22()22(211112112++-=++++x x x x )12)(12(222112++-=x x x x ∵21x x <，∴1222x x >，又0121>+x ，0122>+x ，∴)()(21x f x f >，故)(x f 是R 上的单调递减函数。

（2）由（1）知)(x f 在R 上单调递减，所以不等式)1()1(2-<-a f a f 可转化为112->-a a ，即022<-+a a ，解得12<<-a ，故实数a 的取值范围是12<<-a 。

三．函数的奇偶性◆函数的奇偶性定义：对于函数)(x f 定义域内的任意一个x ，（1）若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；（2）若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

【说明】这定义，本身就是判定定理。

【例题】试判断函数xxx f a+-=11log )(（0>a ，1≠a ）的奇偶性。

【解析】函数的定义域为}11|{<<-x x ； ∵x x x f a-+=-11log )(1)11(log -+-=x x a xxa+--=11log )(x f -=， ∴)(x f 是奇函数。

【思考】你能换一种方法吗？ 【性质定理】对于函数)(x f ，（1）若)(x f 是偶函数，则)()(x f x f =-；（2）若)(x f 是奇函数，则)()(x f x f -=-。

【例题】已知函数222)(1+-=+x xb x f 是定义在R 上的奇函数。

（1）求b 的值；（2）判断)(x f 在R 上的单调性，并用定义证明； （3）若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

【解析】（1）∵222)(1+-=+x xb x f 是定义在R 上的奇函数，∴0)0(=f ，即041=-b ，故1=b 。

（2）同前。

（3）∵)(x f 是奇函数，0)1()1(2<-+-a f a f ， ∴)1()1(2-<-a f a f ，又)(x f 在R 上单调递减，所以不等式)1()1(2-<-a f a f 可转化为112->-a a ，即022<-+a a ，解得12<<-a ，故实数a 的取值范围是12<<-a 。

【例题】若函数bx axx x f ++=222)(是定义在R 上的偶函数，且1)1(=-f ，则=)(x f 。

【解析】由1)1(=-f ，1)1(=f ，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-112112b a ba，解得0=a ，1=b ，所以12)(22+=x x x f 。