第1章 绪论
表示近似值的精度或准确值的所在范围。在实际 问题中,绝对误差一般是有量纲的。例如测得某一物件 的长度为5m,其误差限为0.01m,通常将准确长度s记为
《 计 算 方 法 》
s=5±0.01 即准确值在5m左右,但不超过0.01m的误差限。
第1章 绪论
1.3 相对误差和相对误差限
绝对误差并不足以表示近似值的好坏。例如设 x1=100±1
第1章 绪论
例1 给定
g(x)=107(1-cosx),试用四位数学用表求g(2°)的近似 值。
《 计 算 方 法 》
甲 用下列步骤解题:由于 cos2°≈0.9994,故
g(2°)=107(1-cos2°)
≈ 107(1-0.9994) =6000
第1章 绪论
乙 用另法计算:由于
g(x)=107(1-cosx)≡2×107sin2 查表sin1°≈0.0175,故
α=0.001253±10-6
β=0.000068±10-6
第1章 绪论
于是知,l t -Lt 为模型误差,10-6 是观测α 、 β 而产生的误差, 因
此为“测量误差”。
《 计 算 方 法 》
在计算过程中,我们常用收敛无穷级数的前几项代替无穷 级数,即抛弃了无穷级数的后段。这样得到的误差称为 “截断误差”。
《 计 算 方 法 》
x2=1000±1 近似值x*1=100的绝对误差限与x*2=1000的绝对误差
限相同,不过100的误差为1与1000的误差为1比较,后者
应比前者精确。
第1章 绪论
定义 我们把绝对误差与准确值之比
x x* r ( x) , x x
《 计 算 方 法 》
( x)
0
1
《 计 算 方 法 》
利用分部积分法可得
En x e
从而有递推公式
n x 1 1 0
n x n 1e x 1dx
0
1
En 1 nEn 1 n 2,3, ,9 E1 1/ e
(1―24)
第1章 绪论 表 1―1
《 计 算 出了四位数字 ,它准确到小数后第三
位,而第四位是经过“四舍五入”得到的,即有
1 4 A A * 10 2 1 4 B B * 10 2
第1章 绪论
1.4 有效数字
对于一个近似值,我们还希望知道它的准确程度,为 此,再引进有效数字的概念。
《 计 算 方 法 》
定义将近似数x写成 x=±10m+1(α1×10-1+α2×10-2+
《 计 算 方 法 》
（1）数值问题举例 曲线拟合。 （2）数值算法举例 S=1+2+3+……+100。 ex=1+x+x2/2!+……+xn/n!. ax2+bx+c=0，求根。
第1章 绪论
§3 误差
《 计 算 方 法 》
1.1误差的来源 用数值计算方法解决科学技术中的实际问题 , 必须 首先建立数学模型。而数学模型又只能在感性认识的 基础上,抓住主要因素,忽略次要因素的情况下获得,故只 能近似地描述所给的实际问题,其与实际问题之间有一
字为 x1=99999.999990
《 计 算 方 法 》
x2=0.000010000000001 而在字长为8,基底为10的计算机上直接用上述公式
计算的结果为
x1=100000.00 x2=0
第1章 绪论
结果x1很好,而x2很不理想。这说明直接用上述公 式计算第二个根是不稳定的。但是若用根与系数的关 系,因为 x1x2=-q=1
x0
(1―4)
称为x*的相对误差。由于准确值x往往是不知道的, 因此在实际问题中,常取
r ( x)
( x)
x
*
第1章 绪论
由式(1― 4) 可知,相对误差可以由绝对误差求出 ; 反
之,绝对误差也可由相对误差求出。其关系是 ε(x)=xεr(x)
《 计 算 方 法 》
(1―5)
在讨论对近似值进行运算结果的误差分析时,相对 误差更能反映出误差的特征。因此在误差分析中相对
1 1
En x e dx x ndx
n x 1 0 0
1/(n 1)
第1章 绪论
表 1―2
《 计 算 方 法 》
第1章 绪论
4.2 改善算法的例子
例1 对于充分大的x计算
x 1 x
《 计 算 方 法 》
x 很接近,直接计 算会造成有效数字的严重损失,可将原式化为一个等价 的公式来计算,也即 1 x 1 x x 1 x
第1章 绪论
1.2 绝对误差和绝对误差限 定义假设某一量的准确值为x,近似值为x*,则x与x* 之差 的绝对误差(简称误差),记为ε(x),即
《 计 算 方 法 》
ε(x)=x-x*
(1―1)
｜ε(x)｜的大小标志着x*的精确度。一般地,在同一
量的不同近似值中,｜ε(x)｜越小,x*的精确度越高。
第1章 绪论
由于准确值x一般不能得到,于是误差ε(x) 的准确值
也无法求得,但在实际测量或计算时,可根据具体情况事 先估计出它的大小范围。也就是指定一个适当小的正
数ξ,使得
《 计 算 方 法 》
|ε(x)|=｜x-x*｜≤ξ x=x*±ξ
(1―2) (1―3)
我们称ξ为近似值x的绝对误差限。有时也用
这样,计算E9时所产生的误差约为
9!ε=9!×4.412×10-7≈0.1601 如果采用新的算法,把上述递推关系改写成
《 计 算 方 法 》
1 En En 1 , n ,3, 2 (1―25) n 从后向前计算,则En中的误差下降为原来的1/n。所以,
若取n足够大,误差逐步减小,其影响愈来愈小。为了 得到出发值,可考虑关系
误差比绝对误差显得更为重要。
第1章 绪论
在实际计算中,由于ε(x)与x都不能准确地求得,因此 相对误差 εr(x)也不可能准确地得到 , 于是也像绝对误差 那样,只能估计它的大小范围。即指定一个适当小的正
《 计 算 方 法 》
数η,使
r
( x)
x

(1―6)
称η为近似值x*的相对误差限。
§1 计算方法的任务与特点
1.3 计算方法研究的问题 （1）计算方法的分类 分方程数值解法。 （2）计算方法研究的问题 计算问题：建筑设计、力学结构计算。 数值代数、数值逼近与微
《 计 算 方 法 》
数值模拟：人口系统、生态系统、弹道轨迹。
最优化问题：人口控制、系统最优化设计。
第1章 绪论
§2 数值问题与数值算法
第1章 绪论
在京东商城或其它购买： 数值计算方法
《 计 算 方 法 》
作者 杨一都
计算方法授课32学时；实验16学时， 分8次，每次2学时
第1章 绪论
第一章
《 计 算 方 法 》
绪 论
§1 计算方法的任务与特点 §2 数值问题与数值算法 §3 误差 §4 算法的稳定性 §5 如何学习计算方法
第1章 绪论
α3×10-3+…+αn×10-n)
(1―7)
第1章 绪论
§4 算法的数值稳定性
《 计 算 方 法 》
4.1 算法稳定的若干原则 例1一元二次方程 x2+2px-q=0 的两个根分别为
x1 p p 2 q x2 p p q
2
第1章 绪论
当p=-0.5×105,q=-1时,方程的两个根取11位有效数
《 计 算 方 法 》
则 x2=1/x1
(1―23)
因此,如果仍用前述方法算出x1,然后用公式 (1―23) 计算x2便得到 x1=100000.00 x2=0.000010000000 该结果是非常好的。这就说明后一种算法有较好的 数值稳定性。
第1章 绪论
例2 计算积分
En x n e x 1dx, n 1, 2, ,9
§1 计算方法的任务与特点
《 计 算 方 法 》
1.1什么叫计算方法 （ 1 ）举例 f(x)=0。 （2）定义：计算方法是对科学技术中的实际问题进行 数值求解的方法。 计算人体身高、气温描述、两分法求根
1.2计算方法与计算机的关系
（1）计算方法的产生。 （2）计算方法与计算机的关系。
第1章 绪论
定的差异 , 从而出现误差。这种误差称之为“模型误
差”。
第1章 绪论
在数学模型中 ,常常包含了若干参变量 , 如比重、加
速度、阻力系数等,这些量一般是通过观测得来的,而观 测的结果不可能绝对准确 ,因而就产生了误差。这种误
《 计 算 方 法 》
差通常称为“测量误差”。 例 设某金属棒在温度t时的长度为lt(0℃时金属棒的长度 为l0),则 lt≈Lt=l0(1+αt+βt2) 这里l0≡1,α、β为参数,可估计为
《 计 算 方 法 》
x 2
g(2°)=2×107sin21°≈2×107(0.0175)2 ≈6125
第1章 绪论
甲、乙都用一本数学手册,表的每一个数都准确到
小数后第四位 ,答案为什么不一致 ? 谁的答案较正确呢 ? 下面我们来分析甲、乙算题时各自的相对误差:记
《 计 算 方 法 》
t1=(1-A)107,其中A=cosx, t2=2×107B2,其中B=sin(x/2),
5.1 计算方法课程特点 ① 数学基础 算机语言。 ② 内容抽象 公式推导复杂、计算繁琐。 ③ 理论与实际具有一定偏差，计算时需灵活掌握。 高等数学、线性代数、微分方程、计
第1章 绪论