推理与证明过关检测试题1.考察下列一组不等式： ,5252522233⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+,525252322355⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 . 2．已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．3. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+*x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ） A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+.4. 某纺织厂的一个车间有技术工人m 名（m N *∈），编号分别为1、2、3、……、m ，有n 台（n N *∈）织布机，编号分别为1、2、3、……、n ，定义记号i j a ：若第i 名工人操作了第j 号织布机，规定1i j a =，否则0i j a =，则等式41424343n a a a a ++++=的实际意义是（ ）A 、第4名工人操作了3台织布机；B 、第4名工人操作了n 台织布机；C 、第3名工人操作了4台织布机；D 、第3名工人操作了n 台织布机.5. 已知*111()1()23f n n N n=++++∈，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推测：当2n ≥时，有6. 观察下图中各正方形图案，每条边上有(2)n n ≥个圆圈，每个图案中圆圈的总数是n S ，按此规律推出：当2n ≥时，n S 与n 的关系式24n S == 38n S == 412n S ==7.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论： . 8.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = ．9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______颗珠宝;则前n 件首饰所用珠宝总数为_ 颗.(结果用n 表示)……10.那么2003应该在第 行，第 列。
11．如右上图，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，1大拇指，2食指，3中指，4无名指，5小指，6无名指，...，一直数到2008时，对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第n 个图中有 个小正方形. 14．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n 的代数式表示）15.如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为()1,2,3,4i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为()1,2,3,4i h i =，若31241234a a a a k ====，则.()412i i Sih k==∑类比以上性质,体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为()1,2,3,4i S i =, 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为()1,2,3,4i H i =,若31241234S S S S K ====, 则()41i i iH ==∑ ( B ) A.4V K B. 3V K C. 2V K D. VK16.设O 是ABC 内一点，ABC 三边上的高分别为,,A B C h h h ，O 到三边的距离依次为,,a b c l l l，则图1 图2图3a b cA B Cl l l h h h ++=__ _______，类比到空间，O 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别为,,,A B C D h h h h ，O 到这四个面的距离依次为,,,a b c d l l l l ，则有_ __17．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则 ．18、若数列{}n a 是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++=，则数列{}n b 也是等差数列。
类比上述性质，若数列{}n c 是各项都为正数的等比数列，对于0>n d ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列。
19．已知△ABC 三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b ＝m （m ∈N*），则这样的三角形共有 个（用m 表示）．20．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行(n ≥2)中第2个数是________（用n 表示）.122343477451114115616252516621．在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状并证明.22．已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.应假设23.ABC ∆中，已知B a b sin 323=，且C A cos cos =，求证：ABC ∆为等边三角形。
24．如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21ny y y <<<< 是曲线C ：)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-∆是正三角形（0A 是坐标原点）． （1）写出1a 、2a 、3a ；（2）求出点)0,(n n a A （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式并证明.推理与证明章节测试题答案1. *(,0,,,,)n n m k k m a b a b a b a b m k n m n k N +>+>+=∈3．1,32- 3. B. 4. A 5.*21(2)()2nn f n N +>∈ 6. 22(2)n n -- 7.2*(1)(32)(21),n n n n n N +-++-=-∈ 8.49.*(1)(41)6n n n n N +-∈ 10.251,3 11、食指12.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为__7____．13．2322n n -+ 14． 48n +15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法16． 1. 提示：平面面积法类比到空间体积法 17．．22221111h a b c=++18*n N ∈提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数)(121n n a a a nb +++= 类比到几何平均数*n d n N =∈19．(1)2m m + 20．222n n -+21．解:π=++++=C B A CB CB A ,cos cos sin sin sin)sin()sin(cos sin cos sin C B C A C A B A +++=+∴ 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C 20cos ,0sin sin π=⇒=∴≠+A A B C所以三角形ABC 是直角三角形22． 三个方程中都没有两个相异实根证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2≤0，（a －b ）2+（b －c ）2+（c －a ）2≤0. ①由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.方法总结：反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析：由32,323sin sin sin 32sin 3sin 323ππ=⇒=⇒=⇒=A A B A B B a b由C A C A =⇒=cos cos B C A ===∴3π所以ABC ∆为等边三角形24.如图，),(111y x P 、),(222y x P 、…、),(n n n y x P )0(21n y y y <<<< 是曲线C ：)0(32≥=y x y 上的n 个点，点)0,(i i a A （n i 3,2,1=）在x 轴的正半轴上，且i i i P A A 1-∆是正三角形（0A 是坐标原点）． （1）写出1a 、2a 、3a ；（2）求出点)0,(n n a A （n *∈N ）的 横坐标n a 关于n 的表达式并证明.解:（Ⅰ）;12,6,2321===a a a ……………….6分 （2）依题意，得23,211---⋅=+=n n n n n n a a y a a x ，由此及n n x y ⋅=32得 )(23)23(121--+=-⋅n n n n a a a a ， 即)(2)(121n n n n a a a a +=---． 由（Ⅰ）可猜想：)(),1(*∈+=N n n n a n ．下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立．……………….10分。