2017-2018学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=2．（5.00分）平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面3．（5.00分）已知集合，，则M∩N=（）A．B．[0，+∞）C． D．4．（5.00分）图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k2＜k3＜k15．（5.00分）设a=log0.70.8，b=log0.50.4，则（）A．b＞a＞0 B．a＞0＞b C．a＞b＞0 D．b＞a＞16．（5.00分）方程x=3﹣lgx在下面哪个区间内有实根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）7．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．（5.00分）一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A．300B．450C．600D．7509．（5.00分）若函数的值域为（0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣∞，1）∪（4，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）10．（5.00分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．11．（5.00分）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5.00分）已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知，则x2﹣x﹣2=．14．（5.00分）已知两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，则直线l1的斜率是．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．16．（5.00分）如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B1﹣A1BC1，则三棱锥B1﹣A1BC1的内切球半径是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）求值或化简：（1）；（2）．18．（12.00分）如图，正三角形ABC的边长为6，B（﹣3，0），C（3，0），点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于P．（1）求点P的坐标；（2）判断AD和CP是否垂直，并证明．19．（12.00分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数f（x）图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB垂直y轴，若存在，求出A，B两点坐标；若不存在，说明理由．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．21．（12.00分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资﹣三险一金=起征点．其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？22．（12.00分）设a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中．（1）求F（x）的最小值m（a）；（2）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围．2017-2018学年广东省中山市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．2．（5.00分）平行于同一个平面的两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或相交或异面【解答】解：若a∥α，且b∥α则a与b可能平行，也可能相交，也有可能异面故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面故选：D．3．（5.00分）已知集合，，则M∩N=（）A．B．[0，+∞）C． D．【解答】解：集合={x|0＜4x﹣3≤1}={x|＜x≤1}，={y|y≥0}，则M∩N=（，1]，故选：C．4．（5.00分）图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有（）A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k2＜k3＜k1【解答】解：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为：θ1，θ2，θ3．则，∴k2＜k3＜0＜k1．即k2＜k3＜k1．故选：D．5．（5.00分）设a=log0.70.8，b=log0.50.4，则（）A．b＞a＞0 B．a＞0＞b C．a＞b＞0 D．b＞a＞1【解答】解：∵0＜a=log0.70.8＜log0.70.7=1＜log0.50.5＜b=log0.50.4，∴b＞a＞0．故选：A．6．（5.00分）方程x=3﹣lgx在下面哪个区间内有实根（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：方程x=3﹣lgx，对应的函数为：f（x）=x+lgx﹣3，函数是连续单调增函数，f（2）=2+lg2﹣3=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知，函数的零点在（2，3）内，所以方程x=3﹣lgx在（2，3）内有实根．故选：C．7．（5.00分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图还原几何体如图，是底面为等腰直角三角形的直三棱柱截去一个三棱锥．直三棱柱的体积为．截去的三棱锥的体积为．∴几何体的体积为32﹣．故选：D．8．（5.00分）一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线与底面所成角是（）A．300B．450C．600D．750【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，∴2πr=πl，即l=2r，设圆锥的母线与底面所成角为α，则co sα==，∴α=60°．故选：C．9．（5.00分）若函数的值域为（0，+∞），则实数m的取值范围是（）A．（1，4） B．（﹣∞，1）∪（4，+∞）C．（0，1]∪[4，+∞）D．[0，1]∪[4，+∞）【解答】解：函数的值域为（0，+∞），则g（x）=mx2+2（m﹣2）x+1的值域能取到（0，+∞），①当m=0时，g（x）=﹣4x+1，值域为R，包括了（0，+∞），②要使f（x）能取（0，+∞），则g（x）的最小值小于等于0，则，解得：0＜m≤1或m≥4．综上可得实数m的取值范围是{m|0≤m≤1或m≥4}故选：D．10．（5.00分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l 所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AO⊥β，垂足为O，作AC⊥l，垂足为C，连结OC．则l⊥平面AOC，故∠ACO为α﹣l﹣β的平面角，即∠ACO=60°，设AB=a，则AC=AB=，∴AO=ACsin∠ACO=．∴OB==．∴cos∠ABO==．故选：B．11．（5.00分）正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），设正四面体ABCD的棱长为2，由BM=DE=，OD=，∴AO==，∴MN=，∵O是点A在底面BCD内的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，∴cos∠BMN===，∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为．故选：B．12．（5.00分）已知函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=x2+2x的图象为开口方向朝上，以x=﹣1为对称轴的抛物线当x=﹣1时，函数取最小时﹣1若y=x2+2x=3，则x=﹣3，或x=1而函数y=x2+2x在闭区间[a，b]上的值域为[﹣1，3]，则或则有序实数对（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形为故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5.00分）已知，则x2﹣x﹣2=或﹣．【解答】解：∵，∴3x2﹣10x+3=0，解得x=3或．∴x2﹣x﹣2=或﹣．故答案为：或﹣．14．（5.00分）已知两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，则直线l1的斜率是0或．【解答】解：∵两条平行直线l1，l2分别过点P1（1，0），P2（0，5），且l1，l2的距离为5，设直线l1的斜率为k，则线l1的方程为y﹣0=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，l2的方程为y﹣5=k（x﹣0），即kx﹣y+5=0，故它们之间的距离为5=，求得k=0，或k=，故答案为：0，或．15．（5.00分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．16．（5.00分）如图，将一边为1的正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥B1﹣A1BC1，则三棱锥B1﹣A1BC1的内切球半径是．【解答】解：设三棱锥的内切球的半径为r，由题意可得：=+++，r==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）求值或化简：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式++16=+16=18．（2）原式=+﹣lg（4×52）+1=﹣2+1=．18．（12.00分）如图，正三角形ABC的边长为6，B（﹣3，0），C（3，0），点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于P．（1）求点P的坐标；（2）判断AD和CP是否垂直，并证明．【解答】解：（1）如图A（0，3），E（2，）．由l AD：y=3x+3，l BE：y=（x+3），解得P（﹣，）；（2）k AD=k AP=3，k PC=﹣k AD•k PC=﹣1，∴AD⊥CP．19．（12.00分）已知函数．（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）在函数f（x）图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB垂直y轴，若存在，求出A，B两点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由⇔﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）∵f （﹣x）=+lg=﹣lg=﹣f （x），∴f （x）是奇函数；（3）假设函数f（x）图象上存在两点A（x1，y1），B（x2 y2），使直线AB恰好与y轴垂直，其中x1，x2∈（﹣1，1）．即当x1≠x2时，y1=y2，不妨设x1＜x2，于是则y1﹣y2=f（x1）﹣f（x2）=lg﹣，由（1+x2）（1﹣x1）﹣（1﹣x2）（1+x1）=2（x2﹣x1）＞0，∴0＜＜1，∴lg＜0，又＞0∴y1﹣y2＜0，∴y2＜y1，与y1=y2矛盾．故函数f（x）图象上不存在两个不同的点A、B，使直线AB垂直y轴．20．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（1）求证：CD⊥AE；（2）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．【解答】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（2）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，由E是PD中点可得==1，即OB=OD．因为AB∥DC，所以==，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行．21．（12.00分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金（扣除三险一金后）所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额个人所得税计算公式：应纳税额=工资﹣三险一金=起征点．其中，三险一金标准是养老保险8%、医疗保险2%、失业保险1%、住房公积金8%，此项税款按下表分段累计计算：（1）某人月收入15000元（未扣三险一金），他应交个人所得税多少元？（2）某人一月份已交此项税款为1094元，那么他当月的工资（未扣三险一金）所得是多少元？【解答】解：（1）本月应纳税所得额为（15000﹣15000×19%）﹣3500=8650 元，由分段纳税：8650=1500+1300+4150，应交税款为：1500×3%+3000×10%+4125×20%=45+300+830=1175元，（2）1049元=45元+300元+749元，所以应纳税额为1500+3000+=8245 元，设工资是x元，则x•81%﹣3500=8245，解得x=14500 元，所以该人当月收入工资薪酬为14500元．22．（12.00分）设a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中．（1）求F（x）的最小值m（a）；（2）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围．【解答】解：（1）设函数f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2，所以，由F（x）的定义知m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（2）由于a≥3，故当x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0，等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2不成立；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=（x﹣2a）（x﹣2）≤0，即为2≤x≤2a．所以，使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围为[2，2a]．。