一．求极限（20分）：
1、曲线)(x f y =与x y sin =在原点相切，证明：2)2(lim =∞→n
nf n 。

2、求极限：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x cot 11lim 0。

3、求5020)]cos(1[lim x dt t x
x ⎰-+→。

4、求极限⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++++++∞→32323212111lim n n n n n n n n 。

二．导数及高阶导数（20分）：
1、设35x x x y ++=，求'y 。

2、已知x x y -=14
，求)4()(>n y n 。

3、由方程⎰-=+x
y dt t y x 022)cos(确定了y 是x 的函数，求dx
dy 。

4、设)()('),('t f t tf y t f x -==，)('''t f 存在且)(''t f 不为零，求三阶导数33dx
y d 。

三．证明题（17分）：
1、设)(x f 在)0(],[>a b a 上连续，在),(b a 内可导。

证明：存在),(,b a ∈ηξ 使)('2)('ηη
ξf b a f +=。

2、证明：方程)2(11≥=+++-n x x x n n 在)1,0(内必有惟一实根n x ，并求n n x ∞→lim 。

四．积分计算（18分）：
1、计算不定积分：⎰+2)
1(x e dx 。

2、计算定积分：dx e x ⎰-2ln 01。

3、讨论反常积分
)0()1)(1(02>++⎰∞+ααx x dx 的敛散性，若收敛，求出其值。

五． 解下列各题（30分）
1、设22
()z f x y =+ , 其中f 具有二阶导数, 求22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂。

2、计算积分
(),l x y ds +⎰ :l 顶点为(0,0), (1,0), (1,1)的三角形边界。

3、计算积分 xdydz ydzdx zdxdy ∑
++⎰⎰，∑为锥面22y x z +=在平面 4=z 下方的部分，取外法线方向。

六． 解下列各题（20分）
1、计算积分 0 (0)ax bx e e dx b a x
--+∞->>⎰。

2、假设(,)(,)f x y x y x y ϕ=-，其中(,)x y ϕ在点（0，0）的邻域中连续，问
1）(,)x y ϕ满足什么条件时，(,)f x y 在（0，0）点偏导数存在；
2）(,)x y ϕ满足什么条件时，(,)f x y 在（0，0）点可微。

七．（13分）
求椭圆线2211
x y x y z ⎧+=⎨++=⎩上长半轴和短半轴的长。

八．（12分）
1、证明：当1≥t 时，不等式2
ln(1)t t +< 成立。

2、设 )1ln(1)(223x n n x u n +=， ,2,1=n .证明函数项级数∑∞=1)(n n x u 在]1,0[上一致收敛，并讨论其和函数在]1,0[的连续性、可积性与可微性。