不等式与不等式组知识点整理 一、知识要点：1、不等式和一元一次不等式的含义。

①如：－3﹥－5，b ＋1≤3，2x ﹤y ，－1﹤x≤3，x≠1等，含有不等号的式子可称作不等式； 而：②如：y －3﹥－5，b ＋1≤2b －3，2x ＋1﹤4等，是不等式并只含有1个未知数，同时未知数的次数是1，则可称为一元一次不等式。

2、不等式的解、解集、解不等式的概念。

举例：判断下列哪些是不等式x ＋4﹥7的解？哪些不是不等式的解？ －4，－3．5，1，2．3，3．017，214，7，11。

分析：由3＋3 = 6 可知：（1）当x ﹥3时，不等式x ＋4﹥7成立；（2）当x ﹤3或x=3时，不等式x ＋3﹥6不成立。

也就是说，任何一个大于3的数都是不等式x ＋4﹥7的解（如题目中的x=7就是不等式x ＋4﹥7其中的1个解）。

这样的解有无数个，因此x ﹥3表示了能使不等式成立的未知数“x”的取值范围，我们把它叫做不等式x ＋4﹥7的解的集合，简称解集。

而求不等式的解或解集的过程叫做解不等式。

3、不等式的三个性质：（思考：与等式基本性质对比有何异同？） ①如果a ﹥b ，那么a ±c ﹥b ±c ；【移项的依据】②如果a ﹥b ，c ﹥0，那么a ·c ﹥b ·c （或a ÷c ﹥b ÷c ）；【去分母、系数化为1的依据】 ③如果a ﹥b ，c ﹤0，那么a ·c ﹤b ·c （或a ÷c ﹤b ÷c ）；【去分母、系数化为1的依据】4、不等式解集的数轴表示。

举例：（注意数轴看作由无数个点组成，每一个点都与一个数对应，注意空心点和实心点的用法。

）4、利用不等式性质解一元一次不等式。

二、应用举例：【例1】下列不等式，那些总成立？那些总不成立？那些有时成立而有时不成立？（1）－9．4﹤2，（2）3﹥0，（3）b ＋5﹤0，（4）︱x ︱﹥0，（5）12b ﹤0，（6）5＋x ﹥5－x 。

分析：主要考虑未知数的取值，特别是正数、负数和零。

【例2】（07临沂试题）若a ﹤b ﹤0，则下列式子：①a ＋1﹤b ＋2，②ba﹥1，③a ＋b ﹤a b ，④a 1﹤b1中，正确的有（ ）。

A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个分析：由a ﹤b ﹤0得，a 、b 同为负数并且︱a ︱﹥︱b ︱。

如取a =－2，b =－1代入式子中。

三、练习：1、下列式子：①－3﹤0，②4x ＋3y ﹥0，③x=3，④12+-y x ，⑤x≠5，⑥x －3﹤y ＋2，其中是不等式的有（ ）。

A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个2、有理数a 、b 在数轴上位置如图所示，用不等式表示： ①a ＋b ____0，②a b ____0，③︱a ︱____︱b ︱。

3、若a ﹥b ，则下列式子一定成立的是（ ）。

A 、a ＋3﹥b ＋5，B 、a －9﹥b －9，C 、－10a ﹥－10b ，D 、a 2c ﹥b 2c4、下列结论：①若a ﹤b ，则a 2c ﹤b 2c ；②若a c ﹥b c ，则a ﹥b ；③若a ﹥b 且若c =d ， 则a c ﹥b d ；④若a 2c ﹤b 2c ，则a ﹤b 。

正确的有（ ）。

A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个5、如果不等式（a ＋1）x ﹥（a ＋1）的解为x ﹤1，则必须满足a ________。

6、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。

（1）4x －7﹥3x －1（2）2（x －6）﹤3－x7、已知m ﹤0，n ﹥0，m ＋n ﹥0，用“﹥”号连接：m ，n ，－m ，－n ，m －n ，n －m 。

【作业：】1、若0﹤a ﹤1，则下列四个不等式中正确的是（ ）。

A 、a ﹤1﹤a 1， B 、a ﹤a 1﹤1， C 、a 1﹤a ﹤1， D 、1﹤a1﹤a 。

2、求下列不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来。

（1）2x －5﹥5x －11（2）3x －2（1－2x ）≥1不等式与不等式组（2） 一、知识要点：1、解一元一次不等式的依据是不等式的三个性质。

2、解一元一次不等式的一般步骤：（与解一元一次方程类似） （1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化成1（注意不等号开口的方向）。

举例：解不等式：215312+--x x ≤1，并把解集在数轴上表示出来。

解：去分母（不等式两边同时乘以6）得： 6×（215312+--x x ）≤1×6 即：2（12-x ）－3（15+x ）≤6 去括号（利用乘法分配律）得：24-x －315-x ≤6移项（要移动的项必须变号）得： x 4－x 15≤6＋2＋3合并同类项得：－11x ≤11系数化成1得： x ≥－1（注意不等号方向是否需要改变） 所以，原不等式的解集在数轴上表示为：3、列一元一次不等式解应用题。

方法、步骤与列一元一次方程解应用题类似，关键是设元和找出题目中各数量存在的不等关系。

二、应用举例： 【例1】（07枣庄试题）不等式2x －7≤5的正整数解有（ ）。

A 、7个 B 、6个 C 、5个 D 、4个 分析：先求出不等式的解：x ≤6，再从中找出符合条件的正整数。

【例2】如果3)1(2x --的值是非正数，则x 的取值范围是（ ）。

A 、x ≤1 B 、x ≥1 C 、x ≤－1 D 、x ≥－1分析：非正数也就是：0和负数，即3)1(2x --≤0。

【例3】某景点的门票是10元/人，20人以上（含20人）的团体票8折优惠，现在有18位游客买了20人的团体票，（1）问这样比买普通个人票总共便宜多少钱？（2）问：当不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？ 分析：依题意得： （1）18×10－20×10×0．8=20（元）（2）可设x 人买20人的团体票才比普通票便宜，则 10x ﹥20·10·0．8解这个不等式得：x ﹥16，即17、18、19人时买20人的团体票才比普通票便宜。

三、练习：1、解不等式，并把解集在数轴上表示出来： （1）23x x -≥1 （2）125-+y ﹤223+y2、当x 的范围是__________时，代数式3－7x 的值总不小于3x －4的值。

3、关于x 的不等式2x －a ≤－1的解集如图所示，则a 的取值是（ ）。

A 、0， B 、－3， C 、－2， D 、－14、某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则至多可打（ ）。

A 、6折B 、7折C 、8折D 、9折5、某种出租车收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都须付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2．4元（不足1千米按1千米计）。

某人乘这种出租车从A 地到B 地共付车费19元，那么A 地到B 地路程的最大值是（ ）。

A 、5千米 B 、7千米 C 、8千米 D 、15千米6、某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。

甲班有56名学生，乙班有54名学生。

（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？【作业：】1、若4与某数的7倍的和不小于6与这个数的5倍的差，则这个数的范围是（ ）。

A 、不小于61， B 、不大于61， C 、不小于61-， D 、不大于61-。

2、求不等式的m m ++)3(10﹤80非负整数解。

不等式与不等式组（3） 一、知识要点：1、一元一次不等式组的概念。

2、一元一次不等式组的解集的概念。

（关键：两个不等式解集的公共部分）3、解一元一次不等式组的方法和步骤： （1）分别求出每个不等式的解集；（2）利用数轴表示这些不等式的解集的公共部分；如：①x ﹥1且x ﹥3 ，则解集中有公共部分； ②x ﹤0且x ﹥3，则解集中无公共部分 如图： 如图：∴ x ﹥3 ∴此不等式组无解。

不等式组（其中：a ﹤b ）在数轴上表示不等式组的解集口诀⎩⎨⎧b x axx ﹥b同大取大⎩⎨⎧b x axx ﹤a同小取小⎩⎨⎧b x axa ﹤x ﹤b大小、小大中间夹⎩⎨⎧bx ax无解 大大、小小无解集解题的关键：不等式组中的两个不等式的解集有无公共部分，且公共部分是什么。

二、应用举例： 【例1】不等式组⎩⎨⎧≤--0112x x 的解集是（ ）。

A 、x ﹥－21 B 、x ﹤－21 C 、x ≤1 D 、－21﹤x ≤1 分析：先求出每一个不等式的解集，再看两个解集的公共部分是什么。

⎩⎨⎧≤--0112x x 解不等式①得：x ﹥－21，解不等式②得：x ≤1； 解集在数轴表示如下：① ②∴原不等式组的解集为：－21﹤x ≤1（大小、小大中间夹）。

【例2】不等式组⎩⎨⎧2 x kx 无解，则k 的取值范围是（ ）。

A 、k =2 B 、k ﹥2 C 、k ≤2 D 、k ≥2分析：根据大大、小小无解集，可得k 是较大的数，2是较小的数（但k 可以等于2）即：k ≥2。

【例3】不等式组⎩⎨⎧≤--0112x x 的整数解是：__________________。

分析：先求出不等式组的解集－21﹤x ≤1，再从中选出整数：0和1。

三、练习：1、解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来。

（1） ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+x x x 12102（2） ⎪⎩⎪⎨⎧++≤+4133)2(2x x x x2、 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧---+≥-xx x x 8)1(31123，并写出该不等式组的整数解。

3、不等式组⎩⎨⎧+++1159m x x x 的解集是x ﹥2，则m 的取值范围是（ ）。

A 、m ≤2B 、m ≥2C 、m ≤1D 、m ﹥14、幼儿园新购进的一批玩具分给小朋友，若每人分3件，那么还剩59件；若每人分5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，则有_____位小朋友，共有______件玩具。

5、暑假小张一家为体验生活，自驾车外出旅游，计划每天的行驶路程相同。

如果汽车每天比原计划多走19公里，那么8天内它的行程就超过2200公里；如果汽车每天比原计划少走12公里，那么行驶同样的路程需要9天多的时间，求这辆车原计划每天行驶多少公里？【作业：】1、能同时满足不等式x ﹥－1和x ﹤2的整数有（ ）。

A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤--x x x x 238262 ，并把解集在数轴上表示出来。