基本不等式知识点归纳
1．基本不等式2
b a ab +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a
(2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号．
[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？
提示：①当b a =时，
ab b a ≥+2取等号，即.2ab b a b a =+⇒= ②仅当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2
b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式
).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b
a a
b R b a ab b a ),(2
)2();,()2(2
222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数
设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2
b a +，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值问题
已知,0,0>>y x 则
(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．
(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4
2
p (简记：和定积最大)．
[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？ 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1+=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2
5min =
y
[自测]
1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )
A ．18
B ．36
C ．81
D ．243
解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.
2．若函数)2(2
1)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4
3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则2y
xz 的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为18
4．函数x
x y 1+=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x x f 2)(=
的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．。