基本不等式知识点总结向量不等式：【注意】： a b r r 、同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r ur u r u r ； a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r ur u r u r ； a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)代数不等式：,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥； ,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤双向不等式：a b a b a b -±+≤≤（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得等号.）放缩不等式：①00a b a m >>>>，，则b m b b ma m a a m-+<<-+. 【说明】：b b m a a m+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a ba nb n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a bc R +∈，b d ac <，则b bd da a c c+<<+； ③n N +∈<< ④,1n N n +∈>，21111111n n n n n-<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1xe x +≥()x R ∈.函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质(1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图：(2)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取到“=”)．【变形】：①222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，222()22a b a b ab ++==）【注意】：(,)2a b a b R ++∈，2()(,)2a b ab a b R +∈≤ 2、均值不等式：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”*.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）*.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：3333a b c abc ++≥（0a b c ++>等式即可成立，时取等或0=++==c b a c b a ）；*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，ab b a 222≥+同时除以ab 得2≥+b a a b 或ba ab -≥-11。

*,,b a 均为正数，b a ba -≥22八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2)2(b a ab +≤； ③2)2(222b a b a +≤+ ④)(222b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则ba b a +≥+411；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(2≥+； ⑧ 若0≠ab ，则222)11(2111b a b a +≥+。

上述八个不等式中等号成立的条件都是“b a =”。

最值定理（积定和最小）①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +有最小值（和定积最大）②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值214s .【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+.（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.③已知,,,R a x b y +∈，若1ax by +=，则有则的最小值为：21111()()2 ()by axax by a b a b ab a b x y x y x y+=++=+++++=+≥④已知，若则和的最小值为：①.②应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知54x <，求函数1()4245f x x x =-+-的最大值.⑶调整分子：例3.求函数2710()(1)1x x f x x x ++=≠-+的值域； ⑷变用公式：基本不等式2a b ab +≥2222a b a b ++≥，222()22a b a b ++≥不易想到，应重视；例4.求函数152152()22y x x x =--<<的最大值；⑸连用公式：例5.已知0a b >>，求216()y a b a b =+-的最小值；⑹对数变换：例6.已知1,12x y >>，且xy e =，求ln (2)yt x =的最大值；⑺三角变换：例7.已知20y x π<<≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b=+的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值若22x y a +=（a 为定值，0a ≠），可设,,x a y a αα==，其中02απ<≤.①(,)2)4f x y x y a a a πααα=+==+在15[0,],[,2)44πππ上是增函数，在15[,]44ππ上是减函数； ②1(,)sin 22g x y xy a α==在1357[0,],[,],[,2)4444πππππ上是增函数，在1357[,],[,]4444ππππ上是减函数；③11(,)x y m x y x y xy +=+==.令sin cos )4t πααα=+=+，其中[1)(1,1)t ∈--U U .由212sin cos t αα=+，得22sin cos 1t αα=-，从而2(,)1)m x y t t==-在[1)(1,1)--U U 上是减函数. ⑵和为定值若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-①2(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2b+∞上是减函数；②211(,)x y bm x y x y xy x bx +=+==-+.当0b >时，在(,0),(0,]2b -∞上是减函数，在[,),(,)2b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2b b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2b+∞上是增函数.③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2b-∞上是减函数，在[,)2b +∞上是增函数； ⑶积为定值若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x= ①(,)cf x y x y x x=+=+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；②111(,)()x y cm x y x x y xy c x+=+==+.当0c >时，在[上是减函数，在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数；③222222(,)()2c c n x y x y x x c x x=+=+=+-在(,-∞上是减函数，在()+∞上是增函数.⑷倒数和为定值若112x y d +=（d 为定值，111,,x d y ），则.c y x=成等差数列且均不为零，可设公差为z ，其中1z d≠±，则1111,,z z x d y d =-=+得,.11d d x y dz dz ==-+. ①222()1d f x x y d z =+=-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是增函数，在11[0,),(,)d d--+∞上减函数；②222(,).1d g x y xy d z ==-.当0d >时，在11(,),(,0]d d -∞--上是减函数，在11[0,),(,)d d+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d -∞上是减函数，在11[0,),(,)d d--+∞上是增函数；③222222222(1)(,).(1)d d z n x y x y d z +=+=-.令221t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而22222(,)4(2)4d t d n x y t t t==-+-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.。