初三数学几何最值及路径长一、知识点睛1.解决几何最值问题的通常思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．理论依据：两点之间，线段最短（已知两个定点）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦常用模型、结构示例：①奶站模型ll求P A+PB的最小值，求|P A-PB|的最大值，使点在线异侧使点在线同侧②天桥模型l固定长度线段MN在直线l上滑动，求AM+MN+BN的最小值，需平移BN（或AM），转化为奶站模型解决③折叠求最值结构AMA'NB C求BA′的最小值，转化为求BA′+A′N+NC的最小值（利用A′N+NC为定值）2.解决路径长问题的思路①分析定点、动点，寻找不变特征；②猜测、验证，确定运动路径；猜测常通过“起点、终点、特殊点”，结合不变特征验证．③设计方案，求出路径长．二、精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上一动点，则PA+PC的最小值为____．QPEDCBA第1题图第2题图2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点．若P，Q为BC边上的两动点，且PQ=2，则当BP=_______时，四边形APQE的周长最小．3.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为__________．lPCNBMA第3题图第4题图4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M，N两点分别是边AB，AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A'，连接BA'，则BA'的最小值是___________．5.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM，ON上，当点B在ON上运AMA'NB C第1页第2页第3页第4页……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………………………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………动时，点A 随之在OM 上运动，且矩形ABCD 的形状和大小保持不变．若AB =2，BC =1，则运动过程中点D 到点O 的最大距离为（ ） ABC．5D ．52DCAB ON M F DEAH GBC第5题图 第6题图6. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，且满足AE =DF ．连接CF 交BD于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是__________．7. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于点E ，PF⊥AC 于点F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为___________．M FE PCBA第7题图 第8题图8. 如图，在Rt △AOB 中，OA =OB=O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则PQ 长度的最小值为___________． 9. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB =30°，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G ，H 两点．若⊙O 的半径为7，则GE +FH 的最大值为_________________．GOO'D'A'DCBA第9题图 第10题图10. 边长为2的正方形ABCD 的两条对角线交于点O ，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A'BCD'．设A'C ，BD'交于点O'，若旋转了60°，则由点O 运动到点O'所经过的路径长为___________． 11. 如图，木棒AB 的长为2a ，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，且与地面的倾斜角（∠ABO ）为60°．当木棒A 端沿NO 向下滑动到A'，B 端沿直线OM向右滑动到B'，若AA'=a ，则木棒的中点P 随之运动的路径长为____________．B第11题图 第12题图12. 如图，已知线段AB =10，AC =BD =2，点P 是线段CD 上一动点，分别以AP ，PB 为边向上、向下作正方形APEF 和正方形PHKB ．设正方形对角线的交点分别为O 1，O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2的中点G 运动的路径长为_________．13. 已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接ED ，以ED 为边在ED 右侧作等边三角形EDF ．设△EDF 的中心为O ，则点E 由点B 向点A 运动的过程中，点O 运动的路径长为_____________．几何最值及路径长（随堂测试）1. 如图，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC =4，BC =3，P 为AB 上一动点，且PE⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，则线段EF 长度的最小值是____________．F P CBAAB CP C'第1题图 第2题图2. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，P ，Q 两点分别是边AC ，BC 上的动点．将PBOAQ第5页△PCQ 沿PQ 翻折，点C 的对应点为C′，连接AC′，则AC′的最小值是_____________． 3. 如图，在以坐标原点O 为圆心，2为半径的圆上任取一点A ，过点A 作AM ⊥y 轴于点M，AN ⊥x 轴于点N ．若点P 为MN 的中点，则当点A 沿着圆周在第一象限内按顺时针方向走完45°弧长时，点P 走过的路径长为_____________．几何最值及路径长（作业）1. 如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a 的值为_________．第1题图 第2题图2. 如图，A ，B 两点在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC =8，B 到MN 的距离BD =5，CD =4，P 在直线MN 上运动，则PA PB -的最大值为______________．3. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =5，AD =13．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为______________．B CA'AD QP4. 如图，在矩形ABCD 中，AB =12，AD =3，E ，F 分别为AB ，CD 上的两个动点，则AF +FE +EC的最小值为__________．C'PC B A第4题图 第5题图5. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =9，BC =12，P ，Q 两点分别是边AC ，BC 上的动点．将△PCQ 沿PQ 翻折，点C 的对应点为C′，连接AC′，则AC′的最小值是_____________． 6. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =2，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上．当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，则在运动过程中，点B 到原点的最大距离为_____．第7题图7. AB 上，且AC =BD =2．P 是线段CD 上的一动点，分别以AP AEP 和等边三角形PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ．当点P 从点C 运动到点D 时，点G 移动的路径长为___________． 8. 如图，正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段EF 的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点E 从点A 出发，按A →B →C →D →A 的方向滑动到点A 为止，同时点F 从点B 出发，按B →C →D →A →B 的方向滑动到点B 为止，则在这个过程中，线段EF 的中点M 所经过的路径所围成的图形面积为___________．第8题图 第9题图9. 如图，以G (0，1)为圆心，2为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，点E 为⊙G 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为__________BCADE FDCBA第8页……………………………答……………………………………………………题…………………………………………线……………………………………………………密……………………………………………………封…………………………………………线………………………【参考答案】。