中学生物理竞赛模考训练05答案及评分标准满分160分 命题人 蔡子星第一题（20分）（1）如图4根轻杆之间铰接，左端铰接在墙上，0A 端挂有重物P 。
求出11,A B 端和墙之间的作用力。
（2）如图将上述结构复制n 份，铰接起来，分别挂有重物P ，/2P ，…，1/2n P -。
求出当n 足够大的时候，墙上两个端点与墙之间的相互作用力。
【解】：(1) 因为01B B 是轻杆，力必水平。
对0B 和0A 点做力矢量和为零得到1B 对墙拉力为P ，1A 点对象水平压力为P ，竖直压力为P （6分） (2) 将右方所有支架加重物视为一个整体。
以n A 为支点，写力矩平衡方程，令n B 对墙的拉力为F 有：23234 (4222)P P PFl Pl l l l Pl =++++= （乘以2之后错位相减） 4F P =对整理合外力等于零得到： n A 对墙水平压力位4P ，竖直方向压力为2...222P PP P +++=PA 01B 1A注：用递推做则写出递推式得6分，三个结果分别2，3,3分第二题（20分）空间中有两层很薄的电荷，电荷密度为σ±，间距为h ，h 很小，叫做电偶极层。
一个电量为0q >，质量为m 的点电荷，只能和电偶极层间发生静电相互作用（而不会碰撞）。
（1）粒子以速度0v ，角度θ，入射电偶极层，出射方向i 。
求出sin i 和sin θ之间的关系。
（2）将电偶极层弯成离心率为e 的双曲面形状，左边为正电荷，两个焦点沿着x 轴方向，要求所有平行于与x 轴方向入射的粒子都能汇交与焦点，则粒子速度，电偶极层厚度，电荷密度之间应当满足什么关系？ 【解】：数学附录：双曲线方程，22221x y a b-=，c e a ==线的距离之比为e ，双曲线的渐近线为x y a b=±。
（1）由高斯定理电场0E σε=，电势差0U Eh h σε==由能量守恒，末态初速度1v 满足：22011122mv Uq mv +=解得：1v =由沿面的切线方向动量守恒：01sin sin v v i θ=∴sin sin i θ= （10分）h（2）经过定性分析，只能是经过减速度后汇交于另一支的焦点。
由于本题已知双曲线能将粒子汇聚于焦点，则只需要通过特殊值验算参数间关系即可。
最简单的验算位置在距离x 轴很远的地方，即在渐近线上。
此时入射角为1sin i e=，出射角为sin 1θ=（很远，所以到焦点和原点几乎是一条线）带入第一问方程得到（注意为减速）：∴200021hq v meσε-=（10分） 解毕（以下不是考题：证明第二问的双曲线能将粒子汇聚到焦点） （3）以下不是考题部分：令曲线方程为22221x y a b-=考虑两个相邻的入射轨迹PA 和PA'，作AM P'A'⊥于M ；1A'N AF ⊥于N 由双曲线第二定义（准线定义）得： 1|A'M|=|AN |e作2A'H AF ⊥于H ，有|AM|=|AH| （双曲线线上点到两焦点距离之差不变） 由双曲线性质12|AF ||F A |2a -+= ∴MAA'∆与HA'A ∆中11|AA'|cos AA'M=|A'M|=|AH |cos AA'H |AA'|e e ∠=∠⋅⋅∴1sin sin i eθ=∴01e=第三题（20分）空间中有沿着z 方向的磁场，磁场大小随着时间和空间变化，满足0cos()B B t kx ω=-。
一个桌面在0z =平面上，平面上有一个沿着x-y 方向正放的线框，线框边长为l ，总电阻为R 。
（1）假设线框相对于桌面静止，线圈的左端位于0x =的位置，求出线框中电动势随着时间的变化关系。
（2）若线框质量为m ，摩擦系数为μ，线框是否可能相对于桌面沿着x 方向做匀速直线运动？如果可能求出参数之间应当满足的条件，如果不可以，写明理由。
（以下不是考题：找到三个这样的线框，沿着x 轴发成一排，相邻两个之间用长度为'l 的绝缘木棒连接，问这三个线框是否可能一起做匀速直线运动，如果可以求出各参数应当满足条件，如果不可以写明理由。
）（1）变到以速度v Rω=的参照系中对于线圈回路的总电动势ε不随参照系变化而变化（虽然动生和感生电动势分别可能发生变化） 此系中0cos()B B kx =- 左杆1x vt =-，右杆2x vt l =-+ 左杆10cos()B vtk lv ε=向上 右杆20cos()B vtk kl lv ε=-向上 逆时针为正，回路电动势120[cos()cos()]B lv vtk vtk kl εεε=-=-- 其中vk ω= （7分）在原系中积分计算磁通量再对时间求导数方法也给全分。
（2）设直线运动速为0v同第一问有：0000(){cos[()]cos[()]}B l v v v v tk v v tk kl ε=----- 又电流I Rε=安培力F B Il B Il =-右左22220000(){cos[()]cos[()]}B l v v v v tk v v tk kl R-=----显然F 与t 无关只有0v v =，然后这会导致0F = ∴不可能（13分）（不是考题部分）112'()()33l l n n kπλ+=+=+，类似三相交流电。
第四题（20分）一个金属球壳，半径为R ，质量为M ，带电量为Q ，初始时刻自由的静止在空间中。
球壳的一端有一个小洞。
球心与小洞的连线方向视为轴线方向。
在轴线上很远的地方有一个半径为r 的金属球，质量为m ，带电量为q ，以初速度0v 向着球心飞去。
（假设飞行速度很慢，电荷产生电场可以拿静电力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热Θ。
（以下不是试题：求出能够让金属球打入球壳所需的最小速度0v 。
仔细想哦。
答案得到02()kqQ m M v RmM+≥的同学回去面壁）【解】：（1）初态电势能为22122kQ kq E R r =+末态Q 电势为Q kQ kq u R R =+，q 电势为q kQ kqu R r=+∴末态能量211()2Q E u Q u q =+21122kQ kq kQqR r R=++∴动能减少为kQqE R∆=设末态m 速度为m v ，末态M 速度为M v 由动量守恒，0m M mv Mv mv +=由能量守恒，2220111222m M kQq mv mv Mv R=++解得：0m mv v m M =±+（8分）（正根、负根舍去一个，或者不舍去均给分） （2）电荷全部到达外表面后：电势能改变：222()222k Q q kQ kq E R R r +∆=--由能量守恒得到：∴222201()2222Mm k Q q kQ kq v m M R R r +Θ=-+++（12分）第五题（20分）如图所示，一个信号源S 以恒定的速度u 向x 正方向运动。
信号在空中传播的速度为u 。
信号源本身的频率为0f 。
在地面上的静止的观察者P 所接受到的信号频率为f 。
在信号源的飞行轨迹上，O 点位最靠近P 的点。
以O 原点建立坐标系。
（改编自台湾物理竞赛试题）（1）证明在信号源距离观察者足够远的时候，有0cos 1f f v u=θ-人类的第一颗人造卫星绕地飞行的时候，地面上的观察者测量卫星发出的光信号频率。
纵轴为信号频率，单位为赫兹；横轴为测量时间，单位为分钟。
光速为82.99810/c m s =⨯。
（2）请由此图估算卫星相对于观察者的速度。
（3）请由此图估算卫星距离观察者的最近距离。
【解】：（1） 如图，初态距离为l ，发出信号，1lt u=到达P 点 过t ∆后，距离为'cos l l v t θ=-∆，信号到达时刻为2'l t t u=∆+接收时间间隔21'(1cos )vt t t t u θ∆=-=∆-所以频率为011cos f v f uθ=- （2）7max 2.00055210f Hz =⨯ 7min 2.00045710f Hz =⨯初态很远到末态很远处频率差为5max min max min 4.7510()/2f f f f f f--∆==⨯+做小量近似有()v v fc c f∆--=，则有37.1210/v m s =⨯（3）读出图中中间段的的斜率28.25k s -=当卫星飞过头顶时，经过t ∆后，角度变化为v thβ∆∆=，h 为高度频率变化2(sin )v v tf f fc hcβ∆∆∆=≈SP解得：254.110fv h m kc==⨯正负20%均视为正确，用曲线回归或者取多个点求平均的方法均视为正确。
第六题（18分） 一个质量为2m 的星体A 和质量为m 的星体B ，绕着它们的质心分别做圆周运动。
在质心系中观察发现体系总角动量为L （1）求体系的总能量0E（2）A 发生爆炸成为两个质量为m 的星体1A ，2A ，爆炸瞬间体系总机械能增加了E ，之后经历复杂的三体运动（以下省略刘慈欣写的《三体》）最后1A 和B 相互环绕着飞行，2A 与二者远离。
已知这时候以1A 为参照系B 的角动量为0L以1A 和B 的质心为参照系，1A 和B 构成的系统的能量最小值min E 为多少？这会对E 有什么限制？ 【解】：（1） 考虑两体问题折合质量做法，2m 与m 的折合质量为2223m m mm m μ⋅==+ 相对速度为0v ，相对距离为l ，两体问题角动量等于原体系质心系角动量 0L v l μ=由牛顿第二定律20222(2)v G m m G m m l l l μμ⋅+==解得2334L l Gm =两体问题能量等于2502024'23k p G m m G m E E E l L ⋅=+=-=-由于两体问题动能等于原题体系质心动能，两体问题势能等于原体系势能 所以2500204'3G m E E L ==- （10分）（2） 对于1A 和B 构成体系，当相对质心动能为'k E ，相对质心角动量为'L ，这也等于两体问题的动能和角动量。
可以证明当角动量一定时，圆轨道能量最低。
（4分） 利用第一问结论注意应当带入的是质心角动量，而不是1A 相对B 角动量，差两倍！202(/2)''L l Gm μ=，能量25min 202'Gmm G m E l L =-=-其他方法均给分（4分）由此可得252502204'3G m G m E E E L L >-=-+（2分）第七题（20分） 如图是两冲程柴油机的工作原理图。