第一讲：向量分析与场论（）
向量分析与场论基础
《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。
在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。
一、 物理量的分类 、物理量
、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。
例如：考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度和该点坐标()具有函数关系：( , , )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速和该点坐标()具有函数关系： ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ，其中( , , )、( , , )以及( , , )分别为向量 ( , , )在轴、轴以及轴的分量， 、 以及分别为轴、轴以及轴三个方向的单位向量，（通常又称为方向向量）这就构成了一种向量场（或称为场向量），这个向量场为流速场。
本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁场》课程教案服务，故不追求数学上严格性与广延性。
在本概要中，为简明区分向量与标量起见，向量一律采用黑、斜体。
例如力可表示为。
二、几个有用的场向量、向量加、减运算
1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描述。
该位移向量
模分
别表示为：
（）
| | ( ) （）
对于向量的叠加，满足平行四边形
如图所示
()()() （）
对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。
如图所
示，可先画出处第一个
向量，以这个向量的末
点做为第二个向量的
起点，画出第二个向
量，则从第一个向量的起点到第二个向量的
末点所引的有向线段即为二个向量与的叠加结果。
问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大于这两个向量模中的任意一个模。
同理，向量 ‘’运算为‘’运算的逆运算，例如空间两个点()与()之间的位移向量为从点到点所引的一条有向线段，大小与方向如图所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确定为两矢径 与之差
– ( – ) ( – )
( – ) （）
例一、 空间轴上取任意两点与，其距离为，由这两点向空间任意点点引出两个
位移向量分别为与，求与向量差。
解法：由三角形合成法则，容易看出，到所引向量与到点所引向量与到点所引向量 相等，
即
解法：设空间任意点点坐标为（、、）、点、点坐标坐标为分别为（、、）、（、、），由题设条件则有
由（）式：
(–)(– )(– )
(–)(– )(– )
所以：
[(–)(–) ][ (– ) (– )][(– ) (– )]
（）
、单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。
单位向量的含义在于：单位向量的模为，方向与该向量的指向一致。
例如：位移向量的单位向量为：||( )／( )
／( )／()／()
由单位向量的概念，（）式矢径向量又可表示为：
||（）
例题：空间一点（，，），由该点到轴引垂线，求）垂足到点的位移；）该位移的方向向量。
解：解题分析：本题的解题关键在于，找出垂足点的坐标。
既然是点到轴做垂线，该位移一定垂直于轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的坐标值一定与点的坐标值相等，由于在轴上，垂足点的、坐标值均为，设垂足点为，则点的坐标为（，，）。
关于位移的图形表示如图所示，由式（）得–(– )(– )(– )
的单位向量为
()／( )
2、 线元
向量：在空
间任意一路径的某
一点上，任取一长度微元，
线元的大小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用表示，如图所示。
，其中以及分别表示线元末端点与线元初始点的坐标差。
例
如图，试表示出在半径为的圆轨道上任意一点处的线元
解
分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计算的表达方
式，在本例，我们采用种表达方法，）直角
坐标下的表达；）极坐标下的表达 第一种方法：由定义有
由于在平面，
，所以有
上式中和分别表示在圆上弧角为θ θ处以及弧角
为θ处两点的坐标差和坐标差。
由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表示
θ θ θθ θθ
θ(θ θ ) （）
第二种方法：对于一些计算，为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向向量写成α，如图，在弧角为α处点的线元又
可写为
α α α
上式，为弧元α所对应的弧长 注意：）在圆上任意一点的方向向量都是
写
成α，但是不同的点所对应的α方向是不同的；）单位径向向量可以表示为：αα , 切向比径向多转度，故
α（απ ） （απ ）
所以有
α αα （）
面元向量: 在空间任意曲面的某一点上，任取一面积微元，面元的大小为面积微元的面积，方向为该面积微元在这点的法向方向，如图所示。
（）
式中，表示曲面在该点的法向的单位向量，故又可表示为： （）
式中， 、以及为法向单位向量的三个 坐标投影分量。
故又可以写成
（）
上式 、以及分别表示面元在、以及平面的投影 注意：对曲面上的一点，法向是指过该点且垂直于该
图、面元的表示
点所做的微分平面，若不加以说明，满足这一条件的方向就有两个，如图所示，其的反方向也垂直于该点所做的微分平面，一般对于闭合曲面而言，法向一般是指外法向，即指向曲面外部；对于非闭合曲面，则可根据实际计算情况加以定义。
例 试确定无限大平面上任意一点的面元
解 要定量地表示出面元，要建立坐标系，如图设无限大平面上为 ；确定面元有两个因
素，其一为面元的大小，其二为面元的方向。
对于本问题，假设垂直于平面指向上面的方向为法向，故平面上任意一点的法向都相同，是向上为。
对于面元大小，可以是直角坐标表示，也可以是柱坐标表示，具体需要根据实际的计算需要确定，在本例中，分别给出面元大小的直角坐标表示以及柱坐标表示 1） 面元的直角坐标表示, 在坐标（）点处的面元如图所示
（）
) 处面元表示如图所示， 面元大小为为
θ （） 面元为
θ （）
意一点的面元 解 球面面元的图示
如图所示，面元 大小为： θφ•θ（） 其中θφ代表面元的横 向弧边弧长， θ代表面元 的纵向弧边弧长。
由定义得在
由球坐标所点（, φ, θ）处 面元为 θφθ （）
上式中，法向的方向为沿径向
指向球面外部，如图所示利用球坐标可表示为
| | （）
三、向量的两种‘积’运算
1、 向量的标积：向量的标积又称为向量的点积，用符号“•”表示。
空间任意两个向量、，它们的标积定义为该两个向量大小以及它们夹角的余弦这三者相乘的积。
注意，二个向量的标积
为一标量。
如图所示，积的表示为：
• ||θ|| [( , , ) ( , , ) ( , , ) ] • [( , , )
( , , )
( , , ) ] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) （） 其中 、 以及分别表示向量的三个坐标分量，对同理。
标积的物理意义理解：如图所示,用力把物体沿轴方向推动，若推动距离（位移大小）为∆ι，则力对物体做了功，由于力的方向与物体位移方向不一致，只有沿轴的分量对物体做了功；沿轴的分量对物体没有做功，因为在轴的方向上，物体没有位移。
根据力的分解原理大小为
θ
故力所做的功为：
∆ι θ∆∙∆ι （）
上式中，∆ι 为物体在力的作用下移动的位移向量线元，在这里方向为水平向右。
注意：）θ ，力与位移方向相同， ∆，此时做功最大；θ ，力与位移方向垂直，θ ， ，
此时虽有力，有位移，但是力并不做功；θ> ，<，此时说明力沿位移的投影是在位移的反方向，或者说位移沿力的方向投影在力的反方向，从物理意义上讲，此时力是对物体位置的移动起阻碍作用，做负功，也许同学会问，力对物体的移动起反作用，物体怎么会移动？有两种可能，其一、此时物体有沿位移移动的速度，其二、有其他力支持物体的向右移动。
2） 在对以上向量点积进行分析时，我们是把力投影到位移方向进行计算的，即力投影大小
为θ，与位移大小∆ι相乘；（）式也可以理解为线元∆ι沿力方向的投影，为∆ι θ，与力的大小相乘，结果均为θ∆。
θ
图、向量的标积图示
图、力做功示意图。