矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
愿点O 也称为矢端曲线的极。
由于终点为),,(z y x M 的矢量对于原点O 的矢径为zk yj xi r ++==当把A )(t 的起点取在坐标原点时，A )(t 实际上就成为其终点),,(z y x M 的矢径，因此)(t A 的三个坐标)(),(),(t A t A t A z y x 就对应地等于其终点M 的三个坐标z y x ,,，即)(),(),(t A z t A y t A x z y x === （1.1.3） 此式就是曲线l 的参数方程。
只是模变化而方向不变的矢量，它的矢端曲线是通过记得射线。
只改变方向而模不变的矢量，它的矢锻曲线是位于以极为中心模为半径的球面上的某一曲线。
2、矢函数的极限和连续性定义1.1.2 设矢函数A )(t 在点o t 的某个领域内有定义（但在o t 处可以无定义），A 0为一常矢。
若对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使当t 满足δ<-<00t t 时，就有 |A )(t －A 0|< ε成立，则称A 0为A )(t 当0t t →时的极限，记作l i m t t →A )(t =A 0 （1.1.4）矢函数的极限定义与数性函数的极限定义完全类似。
因此矢函数也就有类似于数性函数极限的运算法则。
如)(lim t t t u →A )(t =0)(lim t t t u →·lim t t →A )(t （1.1.5） 0lim t t →[A )(t ±B )(t ]=0lim t t →A )(t ±0lim t t →B )(t （1.1.6）lim t t →[A )(t ·B )(t ]=0lim t t →A )(t ·lim t t →B )(t （1.1.7） 0lim t t →[A )(t ×B )(t ]=0lim t t →A )(t ×0lim t t →B )(t （1.1.8）其中)(t u 为数性函数，A )(t ，B )(t 为矢函数；且0t t →时，)(t u ，A )(t ，B )(t 的极限均存在。
若设A )(t = )(t A x i+ )(t A y j+)(t A z k 则由法则（1.1.6）与（1.1.5）有lim t t →A )(t =0lim t t →)(t A x i+0lim t t →)(t A y j+0lim t t →)(t A z k （1.1.9）即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。
定义1.1.3 若矢函数A )(t 在o t 的某个邻域内有定义，且有lim t t →A )(t =A )(0t （1.1.10）则称A )(t 在0t t =处连续。
即矢函数A )(t 在o t 处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数)(),(),(t A t A t A z y x 都在o t 处连续。
若矢函数A )(t 在某个区间内的每一点处都连续，则称函数A )(t 在该区间内连续。
或称A )(t 是该区间内的连续函数。
§1.2 矢函数的导数与微分矢函数的微分法是矢量分析的重要内容，在空间直角坐标系中，一个矢量与三个数量（坐标）构成一一对应关系，因而矢函数也有类似于数性函数的导数，微分概念及运算法则。
1、矢函数的导数设有起点在原点O 的矢函数A )(t ，当数性变量t 在其定义域内从t 变到)0(≠∆∆t t 时，对应的矢量分别为A OM t =)( A t t =∆+)( 如图1.2.1，则A ON t t =∆+)(-A )(t =MN称为矢函数A )(t 的增量，记作∆A )(t ，即∆A )(t =A )(t t ∆+- A )(t （1.21.）据此，我们给出矢函数的导数定义。
定义1.2.1 设矢函数A )(t 在点t 的某一个邻域内有定义，并设t t ∆+也在这邻域内，若A )(t 对应于t ∆的增量∆A )(t 与t ∆之比tt A t t A t t A ∆-∆+=∆∆)()()( 当0→∆t 时，其极限存在，则称此极限为矢函数A )(t 在点t 处的导数（简称导矢），记作dtt dA )(，或)(t A '，即 tt A t t A t t A dt t dA t t ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim )(lim )(00 （1.2.2） 若k t A j t A i t A t A z y x )()()()(++=，且函数)(),(),(t A t A t A z y x 在点t 可导，则有k dtdAj dt dA i dt dA k tt A j t t A i t t A t t A dtt dA z y x z t y t x t t ++=∆∆+∆∆+∆∆=∆∆=→∆→∆→∆→∆)(lim )(lim )(lim )(lim )(0000 即k t A j t A i t A t A z y x )()()()('+'+'=' （1.2.3） 矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。
例 1.2.1 已知k e tj e ti e t r t t t ++='sin cos )(，求导矢)(t r '。
解ke j t t e i t t e ke j t e i t e t r tttt t t +++-=+'+'=')c o s (s i n )s i n (c o s )s i n ()c o s ()(例 1.2.2 设j i e j i e ϕϕϕϕϕϕcos sin )(,sin cos )(1+-=+=证明)()(),()(11ϕϕϕϕe e e e -='='，及)()(1ϕϕe e ⊥ 证)(cos sin )(sin )(cos )(1ϕϕϕϕϕϕe ji ji e =+-='+'=' )(sin cos )(cos )sin ()(1ϕϕϕϕϕϕe ii j i e -=--='+'-='又cos sin )sin (cos )()(1=+-=∙ϕϕϕϕϕϕe e所以)()(1ϕϕe e ⊥。
容易看出，)(ϕe 为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此)(ϕe 又叫圆函数；与之相伴出现的)(1ϕe 亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆，如图1.2.2。
2、导矢的几何意义如图 1.2.1，设l 为)(t A 的矢端曲线，tt A ∆∆)(是l 的割线MN 上的一个矢量。
当0>∆t 时，其指向与)(t A ∆一致，指向对应t 值增大的一方；当0<∆t 时，其指向与)(t A ∆相反，如图1.2.3，但此时)(t A ∆指向对应t 值减少的一方，从而tt A ∆∆)(仍指向对应t 值增大的一方。
当0→∆t 时，由于割线MN 绕点M 转动，且以点M 处的切线为其极限位置，此时，割线上矢量tt A ∆∆)(的极限位置，也就在此切线上，这就是说，导矢tt A t A t ∆∆='→∆)(lim )(0当其不为零时，是在点M 处的切线上，且方向恒指向对应t 值增大的一方。
因此，导矢在几何上为一矢端曲线的切向量，指向对应t 值增大的一方。
3、矢函数的导数公式设矢函数)()(t 、B t A 及数性函数)(t u 在t 的某范围内可导，则在该范围内成立下列公式（1）0)(=C dt d（C 为常矢）；（2）dt dBdt dA B A dt d ±=±)(；（3）dt dA k kA dt d =)(口否认 （k 为常数）；（4）dt dAu A dt du uA dt d +=)(；（5）B dt dAdt dB A B A dt d ∙+∙=∙)(； 特别dtdA A A dt d ∙=22，（其中A A A ∙=2）；（6）B dtdA dt dB A B A dt d ⨯+⨯=⨯)(； （7）复合函数求导公式：若)(),(t u u u A A ==，则dtdu du dA dt dA = 这些公式的证明方法，与微积分中数性函数的类似公式的证法完全相同。
例如（6）的证法如下BA B A B A BA B A BA B A B A BA B B A A B A ∆⨯∆+⨯∆+∆⨯=⨯-∆⨯∆+⨯∆+∆⨯+⨯=⨯-∆+⨯∆+=⨯∆)()()(以t ∆除上式两端，有 t BA B t A t B A t B A ∆∆⨯∆+⨯∆∆+∆∆⨯=∆⨯∆)( 再令0→∆t ，求极限可得 B dtdAdt dB A dt B A d ⨯+⨯=⨯)( 例 1.2.3 证明定长矢量与其导矢互相垂直。