1.2 梯 度
自强●弘毅●求是●拓新


1.2.1 场的概念
任何物理过程总是在一定空间上发生，对应的物理量在 空间区域按特定的规律分布。

如
电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布
在空间区域上每一点有确定物理量与之对应，称在该区 域上定义了该物理量的场


1.2.1 场的概念
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z
静态矢量场 F x, y,z
时变场标量场用 u x, y,z,t 时变矢量场 F x, y,z,t


1.2.1 场的概念
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)
Z [R]
15 10
5 0 -5 -10 -15
10
t = 21:15 UT
0
-10
X [R]
p [nPa]
2
1.7725
1.545
1.3175
1.09
0.8625
-20
0.635
0.4075
0.18


1.2.2 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
ux, y,z C
14 16
18
20
−35.50
22
12 50 MLAT 10 60
70 80
2 0 MLT
40
8 30
20
10 6
0
−10
−20
4
−30
−40
33.42
Potential (kV)


1.2.2 标量场的等值面
例：点电荷Q位于直角坐标系的原点，它在空间的电位是：
求等值面方程？
(x, y,z)
Q
40 x2 y2 z 2
解：
(x, y,z)
Q
C
40 x2 y2 z 2
Q
这是一个球面方程，表示以电荷为圆心，以 40C 为半径的球面。

1.2.3 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏观 上场在空间的数值，还需要知 道场在不同方向变化。

方向性导数可以描述标量场在 空间某个方向上变化情况
M r
M r l


1.2.3 方向导数
| lim u
l
M0
l 0
u l

u x
dx
u y
dy
u z
dz
1 dl
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z


eˆ xdx
eˆ ydly dl
eˆ zdz

u cos u cos u cos
x
y
z
cos ,cos ,cos 为 l 的方向余弦
M r
M r l


1.2.4 梯度
场在某点处沿不同方 向变化快慢程度（方 向性导数）不同，必 存在变化最快的方向 定义为梯度
l1
l2
l
M
u u u u l2 l1 l


1.2.4 梯度
u l
( u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
(
dx dl
ex
dy dl
ey
dz dl
ez )
(
u x
ex
u y
ey
u z
ez
)
el
u l
u n
n l
u n
cos
u n
en
el
u el
P1
dn
P2
dl
P
| u
nˆ
u l
max
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆx
x
eˆy
y
eˆz
z

。