快速傅里叶变换实验报告
快速傅里叶变换实验报告
机械34班刘攀 2019010558
一、基本信号（函数）的FFT变换
1. x(t)=sin(ω0t+)+sin2ω0t+cos3ω0t 6
1) 采样频率fs=8f0，截断长度N=16；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=8Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。
Nπ最高频率fc=3f0=3Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度T=2T0，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：
幅值误差∆A=0，相位误差∆ϕ=0。
2) 采样频率fs=8f0，截断长度N=32；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=8Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=0.25Hz。
N最高频率fc=3f0=3Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度T=4T0，整周期截取，不会发生栅栏效应。
理论上有一定的泄漏，但在整周期截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图如下：
幅值误差∆A=0，相位误差∆ϕ=0。
2. x(t)=sin(ω0t+π
6)+sin11ω0t
1) 采样频率fs=8f0，截断长度N=16；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=8Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。
N最高频率
fc=11f0=11Hz，fs
漏，但在整周期截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图：
由上图可以看出，并未体现出11f0的成分，说明波形出现混叠失真。
为了消除混叠
现象，应加大采样频率，使之大于等于 22Hz。
f0处的幅值误差∆A=0，11f0处由于出现
了混叠现象，幅值误差没有意义；相位误差∆ϕ=0。
2) 采样频率fs=32f0，截断长度N=32；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=32Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。
N最高频率
fc=11f0=11Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
漏，但在整周期截取的情况下，旁瓣上的采样都约为 0，泄漏现象没有体现出来。
频谱图：
该频谱图体现出了f0和11f0的成分，说明未失真，且幅值均为1,。
幅值误差∆A=0，相位误差∆ϕ=0。
3.
x(t)=0t
1) 采样频率fs=8f0，截断长度N=16；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=8Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。
N最高频率f
cf
0Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
频谱图：
在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：
x(t)≈0.9098cos(3ω0t+56.9520︒)
故幅值误差∆A=0.9096-1=-0.0904，相位误差∆ϕ=56.9520︒。
2) 采样频率fs=32f0，截断长度N=32；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=32Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。
N最高频率f
cf
0Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
频谱图：
在忽略旁瓣信号的情况下，可近似认为：
x(t)≈0.9820cos(3ω0t+27.6898︒)
则幅值误差∆A=0.9820-1=-0.0180，相位误差∆ϕ=27.6898︒。
分析：很明显，出现了
泄露现象，主要原因是截断时加了矩形窗。
与（1）相比，（2）的窗宽度减小，主瓣变宽，能量更加分散，而其旁瓣却被压低，幅度A明显减小。
泄漏使能量分布变得分散，使要求
的谱线能量降低（幅值减小）。
为减少泄漏的影响，可以选择性能更好的特殊窗（如汉宁
窗等）来代替矩形窗进行加窗处理。
x(t)=
0t的周期T0==，而截断长度T1=2s，T2=1s，非正周期截取，故出现了“栅栏效应”。
信号本身的频率≈3.16 Hz，但是频谱图中只在整数点有值，所以原本应该在 3 和 4 之
间的3.16左右的谱线峰值出现在了3 处。
与（1）相比，（2）的频率分辨率降低，
两峰值间的点数减少，栅栏效应更为明显。
栅栏效应的主要原因是没有
进行整周期截取。
若进行整周期截取，可以消除栅栏效应。
例如fs=0，N=16得到：
4.
x(t)=0t
对信号加窗（Hanning Window）：
12πtw(t)=(1-cos)0
1) 采样频率fs=8f0，截断长度N=16；
频谱图：
此时x(t)≈0.4657cos(3ω0t+58.1027︒)
则幅值误差∆A=0.4657-1=-0.5343，相位误差∆ϕ=58.1027︒
2) 采样频率fs=32f0，截断长度N=32；
频谱图：
此时x(t)≈0.4914cos(3ω0t+30.4390︒)
则幅值误差∆A=0.4917-1=-0.5086，相位误差∆ϕ=30.4390︒分析：加窗之后，主瓣变宽，主瓣能量分散，旁瓣的泄漏有改善。
π5. x(t)=sin(0.99ω0t+) 6
1) 采样频率fs=8f0，截断长度N=16；
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=8Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=0.5Hz。
N最高频率
fc=0.99f0=0.99Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度T=2T0，而信号周期为1，非整周期截取，会发0.99T0
生栅栏效应。
由于进行了矩形窗加窗处理，所以存在泄露现象。
频谱图：
此时，x(t)≈1.0049cos(ω0t-63.4206︒)
则幅值误差∆A=1.0049-1=0.0049，相位误差∆ϕ=-63.4206︒
2) 采样频率fs=32f0，截断长度N=32;
取ω0=2πrad/s，则f0=1Hz，fs=32Hz，频率分辨率∆f=∆f=fs=1Hz。
N最高频率
fc=0.99f0=0.99Hz，fs>2fc，故满足采样定理，不会发生混叠现象。
截断长度T=T0，而信号周期为1，非整周期截取，会发0.99T0
生栅栏效应。
由于进行了矩形窗加窗处理，所以存在泄露现象。
频谱图：
此时，x(t)≈1.0034cos(ω0t-67.2019︒)
则幅值误差∆A=1.0034-1=0.0034，相位误差∆ϕ=-67.2019︒
分析：如果将截取长度取为信号周期的整数倍，如令fs=8⨯0.99f0，则频谱图如下，有效的避免了栅栏效应。
二、典型信号（函数）的FFT变换
1. 对不同信号比的方波进行fft分析
结论：由于方波的频率为≈0.16，故fft变换得到的频谱图主要能量2π
均集中在0.16附近，根据分辨率的不同，误差也不一样。
由上表可以很直观地观察到，随着占空比的改变，频谱图中频率分布的集中程度在发生改变，总体规律为：占空比越远离50%，谱线能量越集中。
2. 用伪随机信号模仿白噪声信号进行FFT分析。
结论：白噪声是伪随机信号生成的，具有随机信号的特征，除0Hz外谱线的幅值均为0。
三、实际信号的频谱分析
电风扇振动信号的分析
1. 高转速
matlab程序：
频谱图：
特征频率为14Hz、41Hz、42Hz、48Hz
2. 低转速
matlab程序：
频谱图：
特征频率为10Hz、20Hz、30Hz、48Hz
分析：对比高、低速频谱图及特征频率，可知48Hz为高低速均含有的特征频率，与
转速无关，可能为电机振动产生的频率。
其余的三个频率：低转速（10Hz、20Hz、30Hz）
与高转速（14Hz、41Hz、42Hz、48Hz）可能是风扇其他结构（可能是传动和执行机构）振
动产生的频率，这些振动与转速有关，且转速越大，振动频率越大。
四、总结
这次实验让我对FFT有了更深的了解，快速傅里叶变换是信号处理中非常重要的手段，它能够让我们运用计算机快速地看到时域下看不到的信息，从而对系统作进一步的分析。
同时我也进一步熟练了matlab的使用，学会了用matlab实现信号的FFT分析。
特别是在
实际信号的FFT处理当中，我认识到了测试与检测技术课程广泛的应用领域，这对我以后
对测试这门课的学习有很强的指导意义，收获颇丰。