第三讲 因式分解(1)
【本节知识点】
1. 因式分解：将一个多项式分解成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式的因式分解；因式分解属于整式乘法的逆运算；因式分解要分解到每一个整式不能分解为止。

2. 本节因式分解的方法：
①提取公因式法：如果多项式各项中含有公因式，那么把这个公因式提出来的方法称为提取公因式法。

②运用公式法()()()()()()()22222223322332a b a b a b a ab b a b a b a ab b a b
a b a ab b a b
⎧-=+-⎪⎪±+=±⎪⎨+-+=+⎪⎪-++=-⎪⎩ ③十字相乘法：()()()2
x a b x ab x a x b +++=++
()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++
④分组分解法：当多项式的项数较多时，将多项式进行合理分组，先使分组能进行分解因式，再使分解因式在各组之间进行，以达到整体顺利分解的目的．
注：分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.
3. 提取公因式法的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

【基础练习】
1．)2(_______)(
63322+-=+-a a b ab b a ． 2．_________)(_________7491472xy xyz xyz xy -=+--．
3．22(________)4914=+-a a ． _____)(9____22+=+
+x y x ． 4．分解因式：_______________
)(2)(32=-+-y x x y ． 5．已知21=
mn ，则22)()(n m n m --+的值是________． 6．若)3)((62++=++x m x px x ，则___________==p m ．
7．分解因式：______________
422x x -． 8．当m =89.256时，8.37m +5.63m －4m =_________．
9．因式分解：=++224
124n mn m ． 10．下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）．
x a x b
⨯ax b
cx d
⨯
A ．22244)2(y xy x y x ++=+
B .3)1(422
2+-=+-x y x
C . )1)(13(1232-+=--x x x x
D .mc mb ma c b a m ++=++)(
【典型例题】
1. 把下列各式因式分解 -+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 2343348126b a b a b a -+ 234xy x -
412132q p p ()()-+- 3223882xy y x y x ++ x x y x y x 5222()()-+-
a a
b a b a ab b a ()()()-+---32222 a x y a x y x y 22342()()()-+-+-
2. 计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯
3. 已知方程组23532
x y x y +=-=-⎧⎨
⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

4. 已知：a m b m c m =
+=+=+12112212
3，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

5. 已知1,1-==+xy y x 则2
2y x +
6. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2分解后的因式，求p
【课后练习】
1. 分解因式： -+-41222332m n m n mn a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）
a a
b a b a ab b a ()()()-+---322222 ()()a a +--23122
2. 计算：()
()-+-221110的结果是（ ） A . 2100 B . -210 C . -2 D . -1
3. 已知x 、y 都是正整数，且x x y y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()
…，且当x =0时，求原式的值。

5. 已知：x x +
=-13，求x x
441+的值。

因式分解之拓展方法（2）
【本节知识点】
【典型例题】
一、分组分解法
1、四项式：二项、二项①按字母分组②按系数分组③按指数特点分组④符合公式分组
（1）1a b ab +++ a 2－ab ＋ac －bc （2）27321x y xy x +++ 263a c a d b c b d -+-
（3）22926a b a b -+- 2242x x y y +-- （4）a 2－2ab ＋b 2－c 2 2229124c bc b a -+-
2、五项式：三项、二项 各组之间有公因式
6344)1(22+-+-x y xy x 12)2(224+-+-y y x x x
（3）x 2-6xy +9y 2+3x 2-27y 2 （4）m 2+n 2-2mn +n -m
3、六项：三项、三项或二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
1222)1(22++-+-y x y xy x 16944)2(222-+-++a a y xy x
（3）x 2-x 2y +xy 2-x +y -y 2 （4）x 2-y 2-z 2
-2yz +1-2x
（5）x 2-6xy +9y 2-10x +30y +25 （6）a 2-a 2b +ab 2-a +b -b 2
4、应用
（1）已知01251022=-++y xy x ，化简2235x y x x ++
（2）化简1+x +x (1+x )+x (1+x )2+…+x (1+x )1998
（3）当x -y =1时，求代数式4
2233433y xy y x y x xy x ++---的值.。