《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1)y x 42= (2))0(2≠=a ay x分析:(1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p ,再写出焦点坐标和准线方程.(2)先把方程化为标准方程形式,再对a 进行讨论,确定是哪一种后,求p 及焦点坐标与准线方程.解:(1)2=p Θ,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是:1-=y (2)原抛物线方程为:x ay 12=,a p 12=∴①当0>a 时,ap 412=,抛物线开口向右, ∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:a x 41-=. ②当0<a 时,a p 412-=,抛物线开口向左, ∴焦点坐标是)0,41(a ,准线方程是:ax 41-=. 综合上述,当0≠a 时,抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a,准线方程是:ax 41-=. 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点,且AB 中点的横坐标为2,求此直线方程.分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k .解法一:设),(11y x A 、),(22y x B ,则由:⎩⎨⎧=-=x y kx y 822可得:04)84(22=++-x k x k .∵直线与抛物线相交,0≠∴k 且0>∆,则1->k . ∵AB 中点横坐标为:2842221=+=+∴k k x x , 解得:2=k 或1-=k (舍去). 故所求直线方程为:22-=x y .解法二:设),(11y x A 、),(22y x B ,则有22212188x y x y ==.两式作差解:)(8))((212121x x y y y y -=+-,即2121218y y x x y y +=--. 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ,448-=∴k k 故2=k 或1-=k (舍去). 则所求直线方程为:22-=x y .典型例题三例3 求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切. 分析:可设抛物线方程为)0(22>=p px y .如图所示,只须证明12MM AB =,则以AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切. 证明:作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B .M 为AB 中点,作l MM ⊥1于1M ,则由抛物线的定义可知:BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中:AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴,故以AB 为直径的圆,必与抛物线的准线相切. 说明:类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.典型例题四例4(1)设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53,求k 值. (2)以(1)中的弦为底边,以x 轴上的点P 为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P 点坐标.分析:(1)题可利用弦长公式求k ,(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求P 点坐标.解:(1)由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得:0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点.则有:4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ,即4-=k (2)9=∆S Θ,底边长为53,∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上,∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ,即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ,即所求P 点坐标是(-1,0)或(5,0).典型例题五例5 已知定直线l 及定点A (A 不在l 上),n 为过A 且垂直于l 的直线,设N 为l 上任一点,AN 的垂直平分线交n 于B ,点B 关于AN 的对称点为P ,求证P 的轨迹为抛物线.分析:要证P 的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A 为定点,l 为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明PN PA =且l PN ⊥即可.证明:如图所示,连结P A 、PN 、NB .由已知条件可知:PB 垂直平分NA ,且B 关于AN 的对称点为P . ∴AN 也垂直平分PB .则四边形P ABN 为菱形.即有PN PA =...l PN l AB ⊥∴⊥Θ则P 点符合抛物线上点的条件:到定点A 的距离与到定直线的距离相等,所以P 点的轨迹为抛物线.典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦,F 为C 的焦点,求证:p F P FP 21121=+. 分析:此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.证法一:)0,2(pF Θ,若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时, 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴. 若线段21P P 所在直线斜率存在时,设为k ,则此直线为:)0)(2(≠-=k px k y ,且设),(),,(222111y x P y x P .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得:04)2(22222=++-p k x k p x k2221)2(k k p x x +=+∴ ①4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有:p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得:p F P FP 21121=+ 证法二:如图所示,设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F ',且不妨设1122P P m n P P '=<=',又设2P 点在F F '、11P P'上的射影分别是A 、B 点,由抛物线定义知,p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆,1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m mnn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立.典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ,过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α,求证:焦点弦长为α2sin 2pAB =. 分析:此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.证法一:抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p,过焦点的弦AB 所在的直线方程为:)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得:0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二:如图所示,分别作1AA 、1BB 垂直于准线l .由抛物线定义有:ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出:αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴ 故原命题成立.典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ,它的一个焦点为F (1,0),对应于该焦点的准线为1-=x ,过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ,若弦AB 的长度不超过8,且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点,求 (1)AB 的倾斜角θ的取值范围.(2)设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点,求CD 中点M 的轨迹方程. 分析:由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线,AB 为抛物线的焦点弦,设其斜率为k ,弦AB 与椭圆相交于不同的两点,可求出k 的取值范围,从而可得θ的取值范围,求CD 中点M 的轨迹方程时,可设出M 的坐标,利用韦达定理化简即可.解:(1)由已知得4=PF .故P 到1-=x 的距离4=d ,从而d PF = ∴曲线C 是抛物线,其方程为x y 42=.设直线AB 的斜率为k ,若k 不存在,则直线AB 与22322=+y x 无交点. ∴k 存在.设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得:0442=--k y ky设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则:442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8,8)1(422≤+∴kk 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得:0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点,32<∴k 由12≥k 和32<k 可得:31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0,∴所求θ的取值范围是:34πθπ<≤或4332πθπ≤< (2)设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得:0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ则323211522<+-≤k 即3252<≤x .3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k Θ 化简得:032322=-+x y x∴所求轨迹方程为:)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动,求AB 的中点到y 轴的距离的最小值,并求出此时AB 中点的坐标.分析:线段AB 中点到y 轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题,因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可.解:如图,设F 是x y =2的焦点,A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ,又M 到准线的垂线为MN ,C 、D 和N 是垂足,则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN .设M 点的横坐标为x ,纵坐标为y ,41+=x MN ,则454123=-≥x .等式成立的条件是AB 过点F . 当45=x 时,41221-=-=P y y ,故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ,221±=+y y ,22±=y . 所以)22,45(±M ,此时M 到y 轴的距离的最小值为45. 说明:本题从分析图形性质出发,把三角形的性质应用到解析几何中,解法较简.典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线,交抛物线于A 、B 两点,求AB 的最小值. 分析:本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论.当2πθ≠时,先写出AB 的表达式,再求范围. 解:(1)若2πθ=,此时p AB 2=.(2)若2πθ≠,因有两交点,所以0≠θ.)2(tan p x y AB -=θ:,即2tan py x +=θ.代入抛物线方程,有0tan 222=--p y py θ. 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-, θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-. 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=. 所以p p AB 2sin 22>=θ.因2πθ≠,所以这里不能取“=”.综合(1)(2),当2πθ=时,p AB 2=最小值.说明:(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论;(2)从解题过程可知,抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =;(3)当2πθ=时,AB 叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.典型例题十一例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ,l 为准线,过A 、B 作l 的垂线,垂足分别为'A 、'B ,则①''FB A ∠为( ),②B AF '∠为( ).A .大于等于︒90B .小于等于︒90C .等于︒90D 不确定分析:本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识,关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.解:①点A 在抛物线上,由抛物线定义,则21'∠=∠⇒=AF AA ,又x AA //'轴31∠=∠⇒.∴32∠=∠,同理64∠=∠,而︒=∠+∠+∠+∠1804632,∴︒=∠+∠9063,∴︒=∠90''FB A .选C .②过AB 中点M 作l MM ⊥',垂中为'M , 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=.∴以AB 为直径的圆与直线l 相切,切点为'M .又'F 在圆的外部,∴︒<∠90'B AF .特别地,当x AB ⊥轴时,'M 与'F 重合,︒=∠90'B AF .即︒≤∠90'B AF ,选B .典型例题十二例12 已知点)2,3(M ,F 为抛物线x y 22=的焦点,点P 在该抛物线上移动,当PF PM +取最小值时,点P 的坐标为__________.分析:本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结合图形则问题不难解决.解:如图,由定义知PE PF =,故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM .取等号时,M 、P 、E 三点共线,∴P 点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,所以P 点坐标为)2,2(.。