λ ( λ + 1) λ λ ≃ 2 ( λ + 1) λ ( λ + 1) ≃ λ λ − λ ( λ + 2) 1
λ ( λ + 1) 3 2 ≃ λ + 2λ + λ 0 2 − λ − 2λ 1 λ ( λ + 1) 2 ≃ λ (λ + 1) 1 1 λ ( λ + 1) ≃ 2 λ (λ + 1)
将其化为Smith标准形。 解：
0 0 −1 λ − a λ − a 0 −1 0 A( λ ) ≃ 0 λ − a −1 0 0 0 λ − a 0
−1 λ − a 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0 0 1 0 (λ − a )2 ≃ 0 0 0 0
1 0 ≃ 0 0
1 0 0 0 1 0 4 0 0 (λ − a ) 0 0 0
λ 矩阵标准形的唯一性
定 义：A( λ ) 为一个 λ 矩阵且 rank ( A( λ )) = r 对 于任意的正整数 k ，1 ≤ k ≤ r ， ( λ ) 必有非零的 k A 阶子式， 阶子式，A( λ ) 的全部 k 阶子式的最大公因式 Dk ( λ ) 行列式因子。 称为 A( λ ) 的 k 阶行列式因子。
2
2 1 0 λ2 + λ − 4 ≃ λ −2 λ −1 2 2 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 0 1 2 λ −2 ≃ λ +λ −4 λ −1 2 2 3λ − 3 4λ + 3λ − 7 λ + 3λ − 4
1− λ A( λ ) = λ 1 + λ 2
2
λ λ 1 λ +λ 0 −λ λ −λ ≃ λ λ 2 2 2 2 1 + λ 2 −λ λ −λ λ
2 2
1 λ +λ 3 2 ≃ 0 −λ − λ + λ 0 −λ 4 − λ 3 − λ
1− λ λ
2
λ
1− λ
2
λ λ
2
2
= λ ( −λ − λ + 1) = f (λ )
2
λ +1 λ
= λ ( −λ − 1) = g (λ )
3
显然 ( f ( λ ), g ( λ )) = λ 而且其余的7各2 阶 子式也都包含 λ 作为公因子，所以 另外
D2 (λ ) = λ
3 2
A(λ ) = −λ − λ ⇒ D3 ( λ ) = λ + λ
0 3 2 −λ − λ + λ 2 −λ − λ
0 λ 0 0 λ ( λ + 1)
例 2
λ ( λ + 1) λ A(λ ) = 2 ( λ + 1)
将其化成Smith标准形。 解：
λ ( λ + 1) A( λ ) = λ 2 ( λ + 1)
0 0 1 0 λ − 1 ≃ 0 3 2 0 −λ + λ + λ − 1 0 0 0 1 0 λ − 1 ≃ 0 2 0 ( λ + 1)( λ − 1) 0
例 4
−1 λ − a λ − a −1 A( λ ) = λ − a −1 λ − a
0 0 −1 λ − a
0 0 −1 λ − a
1 0 ≃ 0 0 1 0 ≃ 0 0
0 1
0 0
0 ( λ − a )3 0 0 0 1 0 0
0 0 −1 λ − a 0 0
3 0 −1 ( λ − a ) 0 λ −a 0
由于 A( λ ) 与上面的Smith标准形具有相同的 各阶行列式因子，所以 A( λ ) 的各阶行列式因 子为 而
D1 (λ ), D2 ( λ ),⋯ , Dr ( λ ) d1 (λ ), d 2 (λ ),⋯ , d r (λ )
又是由这些行列式因子唯一确定的，于是我 们得到 定 理： A( λ ) 的Smith标准形是唯一的。 例 1 求下列
定理
一个 n 阶 λ 矩阵 A( λ ) 可逆的充要必要是 det A( λ ) 一个非零的常数。
定义 下列各种类型的变换，叫做 λ 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置； (2) 非零常数 c 乘矩阵的某一行(列)； ( ) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ ( λ ) 倍加到另一行(列)上去， 其中 ϕ是 ) 的一个多项式。 (λ λ 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应 得三种 λ 矩阵得初等矩阵
3
2
注意 ：观察 D1 ( λ ), D2 ( λ ), D3 ( λ ) 三者之间的关 系。 定理： 等价（相抵）λ 矩阵有相同的各阶行列 式因子从而有相同的秩。 设 λ 矩阵 A( λ ) 的Smith标准形为
d1 ( λ ) d 2 (λ ) ⋱ A(λ ) ≃ d r (λ ) 0 ⋱ 0
例 3
3λ + 2λ − 3 2λ − 1 λ + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 λ −2 λ −1
2 2
将其化为Smith标准形。 解：
λ +λ −4 λ−2 λ −1 2 2 A( λ ) ≃ 3λ + 2λ − 3 2λ − 1 λ + 2λ − 3 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4
2 0 1 2 0 ≃ λ −λ λ −1 2 2 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4 0 0 1 2 0 ≃ λ −λ λ −1 2 2 0 4λ − 3λ − 1 λ + 3λ − 4
0 0 1 2 0 ≃ λ −1 λ −λ 2 2 0 λ + 3λ − 4 4λ − 3λ − 1 0 0 1 2 0 λ − 1 ≃ λ −λ 3 2 0 −λ + λ + λ − 1 0
λ 矩阵为 A(λ ) 的Smith标准形。 d1 ( λ ), d 2 ( λ ),⋯ , d r ( λ ) 称为 A( λ ) 的不变因子。
例1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
λ λ λ −λ 2 2 λ −λ
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将其化成Smith标准形。
解：
2
λ +λ −4 λ −2 λ −1 2 2 ≃ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4
2
λ +λ −4 λ −2 λ −1 2 2 ≃ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 2 1 0
P(i, j ), P(i ( c )), P (i, j (ϕ ))
定理 对一个 m × n的 λ 矩阵 A( λ ) 的行作初等行变换， m A(λ ) A(λ ) 相当于用相应的 阶初等矩阵左乘 。对 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右 乘 A( λ ) 。 定义 如果 A( λ ) 经过有限次的初等变换之后变成 B ( λ ) ，则称 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价，记之为
⋯ a1n ( λ ) ⋯ a2 n ( λ ) ⋯ ⋯ ⋯ amn ( λ )
矩阵。 为多项式矩阵或 λ 矩阵。 阶 ( r ≥ 1) 定义 如果 λ 矩阵 A( λ )中有一个 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话) 全为零，则称 A( λ ) 的秩为 ，记为
rankA( λ ) = r
λ 矩阵的Smith标准形。
0 0 0 λ 2 0 λ −λ 0 0 (1) 0 ( λ − 1)2 0 0 2 0 0 0 λ − λ c1 λ − a λ −a c2 (2) ⋱ ⋱ λ − a cn −1 λ − a
r +1 r
r
零矩阵的秩为0。 定义 一个 n 阶 λ 矩阵称为可逆的，如果有一 个 n 阶 λ 矩阵 B ( λ ) ，满足
A( λ ) B ( λ ) = B ( λ ) A( λ ) = E
B 这里 E 是 n 阶单位矩阵。 ( λ )称为 A( λ )矩阵的 逆矩阵，记为 A−1 ( λ ) 。
A(λ ) ≃ B( λ )
定理 A( λ ) 与 B ( λ ) 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 P ( λ ) 与 Q ( λ ) ，使得
B(λ ) = P (λ ) A(λ )Q (λ )
λ
矩阵Smith标准形的存在性 标准形的存在性 矩阵
定 理 任意一个非零的m × n 型的 λ 矩阵都等价于 一个对角形矩阵 对角形矩阵，即 对角形矩阵
显然，如果 rank ( A( λ )) = r ，则行列式因子 一共有 r 个。 例 1 求
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ 2
的各阶行列式因子。 解：
λ λ λ −λ 2 2 λ −λ
2
由于 (1 − λ , λ ) = 1 ，所以 D1 ( λ ) = 1 。