A ~ B E A ~ E B
2.3.2 Jordan标准形 ①一个n阶方阵可对角化的充要条件之一：A有n个线性无关的特征向量 或对A的每个k重特征值λ，矩阵λE－A的秩为n-k。 ②对应初等因子的Jordan块：对于初等因子方幂(λ－λi)ni，对应一个ni阶 方阵，称为Jordan块即 i 1 i Ji 1 i 1 i
见后面的提示 1
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.3 有理标准形 • ①首一多项多项式的伴随矩阵（可类比由例2.2记忆证明）：
对于n次首一多项式 () n a1n1 ... an1 an，其伴随矩阵为 n阶方阵
0 0 0 an an 1 C E n 1 a2 a1
0 1 0 1 0 1 1 0 A 0 4 3 0 1 0 2
A1 0 结论：准对角矩阵 A ，则相应的 0 A 2 J diag( J (1) , J ( 2 ) )，其中J (1)、J ( 2 )分别对应A1、A2
（区别于 1 、 2）
2
0 A2
提示1：A1的初等因子为 i和 i；A2的初等因子为 1、 1、 2
• 则对角线上多项式f1(λ)、f2(λ)、...、fr(λ)的所有一次因式（首一化）的方 幂组成A(λ)的初等因子组。 • 准对角阵法：A(λ)与一个准对角(分块对角)多项式矩阵等价即 • 则分块A1(λ)、A2(λ)、...、Ar(λ)初等因子的全体就是A(λ)的初等因子组。
A( ) ~ diag( A1 ( ), A2 ( ),...,Ar ( ))
• 2.2 特征矩阵的行列式因子及初等因子
• 2.2.2 初等因子 • ③等价定理：以下条件均可证明两个多项式方阵等价。
A( ) B( ) A( )、B( )有相同的各阶行列式因 子 A( )、B( )有相同的不变因子（ Smith标准形） A( )、B( )有相同的秩和初等因子 组
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ③Jordan标准形（理解会证明）：已知n阶方阵A的特征矩阵λE－A的各初 s 等因子 nj
（ j） , j 1,2,...,s， nj n
j 1
• 则A的一个Jordan标准形为 n J diag（J1 , J 2 ,...J s），J i为对应初等因子 ( j ) j 的Jordan块
• 2.2.2 初等因子 • ①定义：将每个特征矩阵λE－A的不变因子di(λ)可以分解为一次因子的方 t k 幂之乘积 d ( ) ( ) ij
i

j 1
j
ij ( ) • 其中每个一次因子方幂 称为λE－A的一个初等因子，λE－A的 j
k
全部初等因子称为其初等因子组。
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩 阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项 式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时 满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
0 0 0
0 0 0 0 1
• 2.3 矩阵的相似标准形
• • • • • • • • • 2.3.1 矩阵相似的充分必要条件 ①定义：A、B∈Cn×n，若存在n阶可逆矩阵P满足 B P 1 AP 则A、B相似，记为 A ~ B，P为相似变换矩阵。 性质：自反性、对称性、传递性。 ②充分必要条件：A、B的相应特征矩阵等价，即。
2 2
0~0 0 0 0 0
0
0 0 ( 1 -
0 0
0 0 0 2
0 1 0 0 0 A( ) 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 ~ 0 0 0
• 2.2 特征矩阵的行列式因子及初等因子
• 2.2.3 初等因子的求法 • ③示例：求以下多项式矩阵的初等因子 0 1 1 • 1）定义法（三阶以下） A( ) 4 3 0 0 2 1 • 2）对角阵法
0 0 A( ) 0 2 0 0 ( 1) 2 0 0
D1 ( ) d1 ( ), D2 ( ) d1 ( )d 2 ( ),...,Dn ( ) di ( )且Dn ( ) det(E A)
i 1 n
d1 ( ) D1 ( ), di ( )
Di ( ) (i 2) Di 1 ( )
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
• A的特征向量：λ为n阶方阵A的一个特征值，相应的特征向量为n阶非零向 量x∈Cn，满足 x Ax • ③性质： • 1）n阶方阵A有n个特征值（实矩阵可以有复数特征值） • 2）特征值之和等于A的迹，特征值之乘积为A的行列式值，即
• ②相关概念： • A的特征多项式：行列式即首一多项式 f ( ) det(E A) E A n a1n1 ... an1 an
其中a1 trA aii , an (1) n det A
i 1 n
• A的特征值：方程f(λ)=0的零点λi为A的特征值，k重零点为k重 特征值，全体特征值为A的谱。
• 2.2.3 初等因子的求法 • ①定义法。即先求A(λ)的Smith标准形或各阶行列式因子，进而确定A(λ) 的不变因子，然后确定其初等因子组。 • ②对角阵法：A(λ)与一个对角形多项式矩阵等价即
A( ) ~ diag( f1 ( ), f 2 ( ),..., f r ( ),0...,0)
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子 组。
0 13 16 16 1 ；E A ~ 0 3 A 5 7 6 0 6 8 7 0 5 1 2 1 0
• 2.1.2 特征矩阵的Smith标准形
• ③代表矩阵——Smith标准形（法对角阵）：
d1 ( ) d ( ) 2 S( ) diag( d1 ( ), d 2 ( ),...,d n ( )) d n ( )
• 1）特征： • 所有对角线上的非零元素均为λ的首一多项式；对角线上前一个非零元素 可以整除后一个元素，即为 di ( ) | di 1 ( ) • 对角线上零元素必在非零元之后出现。 • 2）定理：任何一个多项式方阵与一个Smith标准形等价。（会证明） • 3）特征矩阵的不变因子：对于n阶方阵的特征矩阵λE－A的Smith标准形
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵 为λE－A，即 a11 a11 a1n
a 21 an1
a22
a11
a2 n ann
c
• 2.1.2 特征矩阵的Smith标准形
• ①初等变换：类似常数矩阵，多项式矩阵A(λ)也存在以下三类初等行（列） 变换，以下以行变换为例，列变换写在箭头下方。 • • • • 1）互换A(λ)的第i，j两行，记为 [ i ( a )] 2）A(λ)的第i行乘以非零常数a，记为 A( ) B ( ) [ i j ( )] A( ) B( ) 3）A(λ)的第j行乘以多项式φ(λ)加至第i行，记为 意义：一次初等行（或列）变换，相当于左乘（或右乘）一个可逆（单模 态）矩阵。
A( ) B( )
[i , j ]
• ②等价矩阵：若A(λ)经过有限次初等变换得到B(λ)，A(λ)同B(λ)等价。即
B( ) P( ) A( )Q( ), P( )和Q( )分别为m阶和n阶单模态矩阵
• 结论：等价必等秩。 A( ) B( ) rankA rankB • 性质：自反性、对称性及传递性（P34）
S( ) diag(d1 ( ), d2 ( ),...,dn ( ))
• 中所有对角元素非零，记di(λ)为λE－A的第i个不变因子。 • 例子：
4 6 0 特征矩阵的Smith标准形及不变因子 3 5 0 3 6 1
• 2.2 特征矩阵的行列式因子及初等因子
• ②定理：对于n阶方阵，若特征矩阵λE－A的非常数的不变因子为
i ( ) ai1
ni
ni 1
... ai ( ni 1) aini， ni n
i 1
s
• 则A的有理相似形为
A ~ C diag(C1 , C2 ,...,Cs ), Ci为对应ni次非常数不变因式的 ni阶伴随矩阵
• 2.3 矩阵的相似标准形