§1 λ－矩阵 §3 不变因子 §5 初等因子
小结与习题
§2 λ－矩阵的标准形
§4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准
形的理论推导
一、 λ－矩阵的概念 二、 λ－矩阵的秩 三、 可逆λ－矩阵
一、λ－矩阵的概念
定义：
设P是一个数域， 是一个文字，P[]是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[] 的元素，则
称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
注：
① P P[ ], ∴ 数域P上的矩阵—数字矩阵也 是 ―矩阵.
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算，
其定义与运算规律与数字矩阵相同.
③ 对于 n n 的 ―矩阵，同样有行列式 | A( ) |, 它是一个 的多项式，且有
第八章 λ－矩阵 §1 λ－矩阵概念
而所有 r 1 级的子式（若有的话）皆为零，则称
A( ) 的秩为r .
零矩阵的秩规定为0.
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三、可逆λ－矩阵
Байду номын сангаас定义：
一个n n 的 ―矩阵 A( ) 称为可逆的，如果有一 一个 n n的 ―矩阵 B( )，使
A( )B( ) B( )A( ) E
这里E是n级单位矩阵.
A( ) , B( ) 都是零次多项式，即为非零常数.
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“ ” 设 A( ) d 是一个非零常数. A( ) 为A( )的伴随矩阵，则
A( ) 1 A( ) 1 A( )A( ) E
d
d
A( ) 可逆.
注意:
A1( ) 1 A( ).
d
λ－矩阵的秩为 n 与其可逆不是充分必要条件.
称 B( ) 为 A( ) 的逆矩阵(它是唯一的)，记作 A1( ).
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判定：
（定理1） 一个 n n 的 ―矩阵 A( )可逆 A( ) 是一个非零常数.
证: “ ” 若A( )可逆，则有 B( )，使 A( )B( ) E
两边取行列式，得
A( )B( ) A( ) B( ) E 1
| A( )B( ) || A( ) || B() | . 这里 A( ), B( ) 为同级 ―矩阵. ④ 与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念. ―矩阵的各级子式是 的多项式.
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二、λ－矩阵的秩
定义：
若 ―矩阵 A( ) 中有一个 r(r 1)级子式不为零，