台州中学2010-2011学年第一学期期中试题高三 数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若{}2x y y P ==，{}222=+=y x x Q ，则=Q P A ．]2,0[ B ．{})1,1(),1,1(- C ．{}2,0D ．]2,2[-2.下列命题错误的是A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”B ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题;C ．命题p ：存在R x ∈0,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012≥++x xD ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件3．设函数()(1)(2)(3)f x x x x x =++-，则()f x 在0x =处的切线斜率为A ．0B ．1-C ．3D ．6-4．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为A ．6π B ．4π C ． D ．3π 5．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA-=+-，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6.如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。

则该几何体的俯视图可以是7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =A.38B.20C.10D.9 8．函数R x x x x f ∈+=,)(3，当20πθ≤≤时，)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是A ．()1,0B ．()0,∞-C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, D ．()1,∞-9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为A ．-1B ．0C．1D ．210．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则||||BF AF 的值等于A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11.已知1249a =，则23log a =__________.12．点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值为 ___ . 13．已知平面向量,a b ，||1,||2a b ==，且|2|10a b +=，则向量a与2a b -的夹角为． 14.P 是椭圆上一定点,21,F F 是椭圆的两个焦点,若00122160,30PF F PF F ∠=∠=,则椭圆的离心率为______ .15．已知210,0,1x y x y >>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是_______________. 16.已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如图），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是．17．给出四个命题：①若函数y ＝f(2x-1)为偶函数，则y ＝f(2x)的图象关于x ＝21对称；②函数11221xy =+-与2(12)2x x y x +=⋅都是奇函数； ③函数)32cos(2π+=x y 的图象关于点)0,12(π对称； ④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π;⑤△ABC 中，若sinA,sinB,sinC成等差数列，则0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.其中所有正确的序号是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明或演算步骤．18．（本小题满分14分） 已知函数211()sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+-+<<，其图象过点1(,)62π.（1）求ϕ的值；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间[0,]4π上的最大值和最小值.19.（本小题满分14分）数列{}n b 满足12b =,且114630(1)n n n n n b b b b ++-+=≥(1) 求证:数列43n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求{}n b 的通项公式; (2)记112n n b a =-,求数列{}n n a b 的前n 项的和.20.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，,,9010AA AB AC BAC ===∠E是BC 的中点．（1）求异面直线AE 与A 1C 所成的角；（2）若G 为C 1C 上一点，且EG⊥A 1C ，试确定点G 的位置； （3）在（2）的条件下，求二面角C-AG-E 的正切值．21.（本小题满分15分）已知向量2(1,1)a x =--，(,)b x y =，且当x <时，有a b ⊥；当x ≥时，a ∥b .(1)求函数()y f x =的解析式；(2)求函数()y f x =的单调递减区间；(3)若对x ≥()f x m ≤，求实数m 的最小值.22.（本小题满分15分）设()(),0P a b a b ⋅≠、(),2R a 为坐标平面xoy 上的点，直线OR （O 为坐标原点）与抛物线24y x ab=交于点Q (异于O ).（1）若对任意0ab ≠，点Q 在抛物线()210y mx m =+≠上，试问当m 为何值时，点P 在某一圆上，并求出该圆方程M ；（2）若点()(,)0P a b ab ≠在椭圆2241x y +=上，试问：点Q 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；（3）对（1）中点P 所在圆方程M ，设A 、B 是圆M 上两点，且满足1OA OB ⋅=，试问：是否存在一个定圆S ，使直线AB 恒与圆S 相切.台州中学2010-2011学年第一学期期中试题答题纸高三 数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．___________ 12． ___________13．___________14． ___________15．___________ 16． ___________17．___________ 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字1()(2)cos(4)23y g x f x x π===-因为[0,]4x π∈，所以24[,]333x πππ-∈-，故cos(4)123x π--≤≤1所以函数()g x 在区间[0,]4π上的最大值和最小值分别为12和14-.19.（本小题满分14分）(1)2433n n b =+------------------7分(2)2153n n n T -+=------------------14分20.（本小题满分14分）解：（1）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ， 则AE∥A 1E 1，∴∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角。

设a AA AB AC 21===， 则,22,2111a C A a E A ==CE A 11∆在 中， 212222682cos 22211=⨯⨯-+=∠aa a a a C A E 。

所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为3π。

------------------5分（2）．由（1）知，A 1E 1⊥B 1C 1, 又因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱∴11E A ⊥BCC 1B 1,又 EG⊥A 1C ∴ CE 1⊥EG． ∴∠.11CC E =∠GEC ∴11CC E ∆~GEC ∆CC E C CE CG 111=∴即aa aCG 222=得a CG =所以G 是CC 1的中点 ---------------------------- --9分（3）连结AG ,设P 是AC 的中点，过点P 作PQ⊥AG 于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC ．又 平面ABC⊥平面ACC 1A 1∴EP⊥平面ACC 1A 1而PQ⊥AG ∴ EQ⊥AG．∴∠PQE 是二面角C-AG-E 的平面角．由EP=a,AP=a,PQ=5a ,得5tan ==∠PQPEPQE所以二面角C-AG-E的平面角正切值是-------------14分21.（本小题满分15分）解：(1)f (x )＝32.(1x x x xx x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≥……………………5分(2)当|x |＜2时，由y ′＝3x 2－1＜0，解得－33＜x ＜33，当|x |≥2时，y ′＝(1－x2)－x(－2x)(1－x2)2＝1＋x2(1－x2)2＞0，∴函数f (x )的单调递减区间为(－33，33).…………………10分 (3)对x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，都有f (x )≤m ，即m ≥x1－x2，由(2)知当|x |≥2时，y ′＝1＋x2(1－x2)2＞0，∴函数f (x )在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都单调递增，f (－2)＝－21－2＝2，f (2)＝21－2＝－2，当x ≤－2时，y ＝x1－x2＞0，∴0＜f (x )≤f (－2)＝2，同理可得，当x ≥2时，有－2≤f (x )＜0，综上所述，对x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，f (x )取得最大值2，∴实数m 的最小值为 2.………………………………15分22．（本小题满分15分） 解：（1）222,4y x a aQ b b y xab ⎧=⎪⎪⎛⎫⇒⎨⎪⎝⎭⎪=⎪⎩，-----------------------------------------------------2分代入22211a y mx m b b ⎛⎫=+∴=+ ⎪⎝⎭2220ma b b ⇒+-=---------------------------------- 4分当1m =时，点(,)P a b 在圆:M ()2211x y +-=上-------------------------------------------5分（2）(),P a b 在椭圆2241x y +=上，即()2221a b +=∴点Q 在双曲线22416y x -=上--------------------------------------------------------------------10分 （3）圆M 的方程为()2211x y +-=设()()1122:,,,,,AB x ky A x y B x y λ=+由1OA OB ⋅=1==⇒1214y y =----------------------------------------------------------------------------------------------12分 又()22111x y x ky ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩ ()()2221210k y k y λλ⇒++-+=，212211142y y k λ∴==⇒=+------------14分又原点O 到直线AB距离d =12d ∴=，即原点O 到直线AB 的距离恒为12∴直线AB 恒与圆221:4S x y +=相切。