2014届高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．已知全集U R =，集合{|M x y ==，则U C M = 。

2．复数12iz i-=的虚部是 。

3．“1x >”是“21x >”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）4．已知扇形的半径为10cm ，圆心角为120︒，则扇形的面积为 。

5．如果22log log 1x y +=，则2x y +的最小值是 。

6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知263,11a a ==，则7S = 。

7．曲线x y e =（其中 2.71828e = ）在1x =处的切线方程为 。

8．方程sin 0x x a +=在(0,2)π内有相异两解,αβ，则αβ+= 。

9．已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，45,60a A B ==︒=︒，那么ABC ∆的面积ABC S ∆= 。

10．已知函数22log (1) (0)()2 (0)x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是 。

11．若不等式21()2()12xxm m -<对一切(,1]x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围是 。

12．设等比数列{}n a 满足公比**,n q N a N ∈∈，且{}n a 中的任意两项之积也是该数列中的一项，若1112a =，则q 的所有可能取值的集合为 。

13．已知O 是ABC ∆的外心，10,6==AC AB ，若y x ⋅+⋅=且5102=+y x ，则=∠BAC cos 。

14．定义在R 上的函数()y f x =满足1(0)0,()(1)1,()()52xf f x f x f f x =+-==，且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1()2013f = 。

二、解答题15．已知等差数列{}n a 满足{}3577,26,n a a a a =+=的前n 项和为n S 。

（1）求n a 及n S ；（2）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

16．设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角。

（1）若136a b ⋅= ，求sin cos θθ+的值；（2）若//a b ，求sin(2)3πθ+的值。

17．已知a R ∈，函数()||f x x x a =-。

（1）当2a =时，写出函数()y f x =的单调递增区间； （2）当2a >时，求函数()y f x =在区间[1,2]上的最小值；（3）设0a ≠，函数()y f x =在(,)m n 上既有最大值又有最小值，请分别求出,m n 的取值范围（用a 表示）。

18．如图，某生态园欲把一块四边形地BCED 辟为水果园，其中90,C D BC BD ∠=∠=︒==，1CE DE ==。

若经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设一条道路PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分，设,DP x EQ y ==。

（1）求,x y 的关系式；（2）如果PQ 是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求PQ 的长的最小值； （3）如果PQ 是参观路线，希望它最长，那么P Q 、的位置在哪里？19．已知等比数列{}n a 满足*12111()2n n a a a a n N ++++=-∈ 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入1n -个数组成一个公差为n d 的等差数列。

①设1n nb d =，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ②在数列{}n d 中是否存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？求出这样的三项；若不存在，说明理由。

20．已知函数2()ln f x a x x =-。

（1）当2a =时，求函数()y f x =在1[,2]2上的最大值；（2）令()()g x f x ax =+，若()y g x =在区让(0,3)上不单调，求a 的取值范围； （3）当2a =时，函数()()h x f x mx =-的图象与x 轴交于两点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，又()y h x '=是()y h x =的导函数。

若正常数,αβ满足条件1,αββα+=≥。

证明12()0h x x αβ'+<。

2013～2014学年度第一学期期中考试高三数学参考答案与评分标准一、填空题1．{}1|<x x 2．—1 3．充分不必要 4．3100πcm 2 5．4 6．49 7．ex y = 8．3π，37π 9．433+ 10．（0，1） 11．32<<-m12．{2，32，92，272，812} 13．31 14．321二、解答题15. 解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ， ……1分 由26,7753=+=a a a ，解得2,31==d a ． ……5分由于2)(,)1(11n n n a a n S d n a a +=-+=，所以n n S n a n n 2,122+=+=． ……7分 （2）因为12+=n a n ，所以)1(412+=-n n a n ，因此)111(41)1(41+-=+=n n n n b n ．…9分故)1(4)111(41)1113121211(4121+=+-=--++-+-=+++=n n n n n b b b T n n ， …13分所以数列}{n b 的前n 项和=n T )1(4+n n． ……14分16. 解：（1）因为a ·b =2 + sinθcosθ =136 , 所以sinθcosθ = 16， ……2分 所以（sinθ +cosθ）2 = 1+2sinθcosθ = 34 ．又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = 233…6分（2）因为a ∥b ，所以tanθ = 2， ……8分 所以sin2θ = 2sinθcosθ =2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθtan 2θ+1 = 45， ……10分 cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35 ． ……12分 所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-3310． ……14分17. 解：（1）当2=a 时，⎩⎨⎧<-≥-=-=2),2(2),2(|2|)(x x x x x x x x x f , ……2分由图象可知，)(x f y =的单调递增区间为),2[],1,(+∞-∞． ……4分（2）因为]2,1[,2∈>x a ，所以4)2()()(222a a x ax x x a x x f +--=+-=-=．……6分当2321≤<a ，即32≤<a 时，42)2()(m in -==a f x f ； ……7分当232>a ，即3>a 时，1)1()(m in -==a f x f ． ……8分 ⎩⎨⎧>-≤<-=∴3,132,42)(min a a a a x f ． ……9分 （3）⎩⎨⎧<-≥-=a x x a x ax a x x x f ),(),()(， ……10分①当0>a 时，图象如图1所示．由⎪⎩⎪⎨⎧-==)(42a x x y a y 得a n a a m a x 212,20.2)12(+≤<<≤∴+=． ……12分图1 图2 ②当0<a 时，图象如图2所示．由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=),(,42x a x y a y 得02,212.221≤<<≤+∴+=n a a m a a x ． ……14分 18. 解：（1）延长BD 、CE 交于点A ，则2,3==AE AD ，则23===∆∆∆B C EB D E A D E S S S ． ABDEPQ34)2)(3(,3)2)(3(41,3=++∴=++∴=∆y x y x S APQ ． ……4分（2）022230cos 2AQ AP AQ AP PQ ⋅-+=12381234223342)334()3(22-=-⨯≥⨯⨯-+++=x x ……6分当22)334()3(+=+x x ，即3324-=x 时，33221238min -=-=PQ ． ……8分（3）令]12,316[],3,33[,)3(2∈∴∈+=t x x t ， ……10分 则1248)(2-+==tt t f PQ ， 2'481)(t t f -= ，令0481)(2'=-=tt f 得，34=t ， ……12分 )(t f ∴在)34,0(上是减函数，在),34(+∞上是增函数，4)12()}12(),316(max{)(m ax ===∴f f f t f ，PQ max = 2， ……14分此时0,3,12)3(2===+=y x x t ，P 点在B 处，Q 点在E 处。

……16分 19. 解：（1）由已知，)(121*1N n a S n n ∈-=+，所以12121-=++n n a S ， 两式相减得，)(21111+++-=n n n a qa a ，解得3=q ， ……3分 又12111-⨯⨯=a q a ，解得21=a ， ……5分 故.321-⨯=n n a ……6分 （2）由（1），知.34,.32,321111nd nd a a a a n n n n n nn n n -++-⨯=∴+=⨯=⨯= ……7分①1210321343433423411111-⨯++⨯+⨯+⨯=++++=n n n n d d d d T ， ……8分 n n n T 3434334234131321⨯++⨯+⨯+⨯= ， n n n n n n n T 343113114134341341341341321210⨯---⨯=⨯-⨯++⨯+⨯+⨯=∴- ……10分故n n n T 31)83169(169+-=……11分 ②假设在数列}{n d 中存在三项p k m d d d ,,（其中p k m ,,成等差数列）成等比数列，则p m kd d d ⋅=2，即pm k p m k 11213434)34(---⨯⋅⨯=⨯． ……13分 因为p k m ,,成等差数列，所以k p m 2=+，（*）代入上式得： mp k =2，（**）由（*），（**），得k p m ==，这与题设矛盾． ……15分 所以，在数列}{n d 中不存在三项p k m d d d ,,（其中p k m ,,成等差数列）成等比数列．…16分20. 解：（1） ,2222)(2'xx x x x f -=-= ……2分函数)(x f y =在[21,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以111ln 2)1()(2m ax -=-==f x f ． ……4分 （2）因为ax x x a x g +-=2ln )(，所以a x xax g +-='2)(， ……5分 因为)(x g 在区间)3,0(上不单调，所以0)(='x g 在（0，3）上有实数解，且无重根，由0)(='x g ，有122+=x x a =)29,0(4)111(2∈-+++x x ，（)3,0(∈x ） ……6分 又当8-=a 时，0)(='x g 有重根2-=x ， ……7分综上∈a )29,0( ……8分 （3）∵m x xx h --=22)('，又0)(=-mx x f 有两个实根21,x x ， ∴⎩⎨⎧=--=--0ln 20ln 222221211mx x x mx x x ，两式相减，得)()()ln (ln 221222121x x m x x x x -=---，)(,0)(,01,10,1'22t u t u t t ∴>∴<-∴<<≥αβ 在（0，1）上单调递增， ……15分 01ln ,0)1()(<+-+∴=<βαt tt u t u ，即0ln 2121<++-x x t x x βα．∴0)(21'<+x x h βα．……16分。